[论文解读] Almost periodicity and periodicity for nonautonomous random dynamical systems

Paul Raynaud de Fitte|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2020

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 29被引用 4

一句话总结

本文引入了波兰空间中随机过程的 $θ$-几乎周期性新概念，统一了概率意义上的几乎周期性与 $p$-范数几乎周期性，使随机偏微分方程（SPDEs）能够获得更强的结果。在较弱条件下，证明了希尔伯特空间中一类非自治SPDE的唯一有界弱解既是 $θ$-几乎周期性，也是路径分布意义上的几乎周期性（APPD），当系数为周期性时，周期解作为特例出现。

ABSTRACT

We present a notion of almost periodicity wich can be applied to random dynamical systems as well as almost periodic stochastic differential equations in Hilbert spaces (abstract stochastic partial differential equations). This concept allows for improvements of known results of almost periodicity in distribution, for general random processes and for solutions to stochastic differential equations.

研究动机与目标

• 解决先前关于SPDE平方均值几乎周期解的不一致声明，这些声明被证明源于伊藤积分变量替换的无效性。
• 建立一个稳健且通用的随机动力系统几乎周期性框架，涵盖现有概念如分布几乎周期性与 $p$-范数几乎周期性。
• 建立度量动力系统与非自治SPDE解的几乎周期行为之间的联系。
• 证明在适当条件下，半线性SPDE的唯一有界弱解既是 $θ$-几乎周期性，也是路径分布意义上的几乎周期性（APPD）。
• 表明系数的周期性可导致解的 $θ$-$\tau$-周期性，从而实现有限维分布的周期性。

提出的方法

• 为取值于波兰空间 $\mathbb{X}$ 的随机过程引入 $θ$-几乎周期性，通过底层概率空间上的平移 $\theta$ 定义。
• 在具有测度保持变换群 $\theta_t$ 的度量动力系统框架下，以 $\theta$ 的意义定义几乎周期性。
• 将该概念应用于定义为度量动力系统上的粗糙协态映射的非自治随机动力系统，允许非完美且非自治的动力学行为。
• 建立 $θ$-几乎周期性与路径分布几乎周期性（APPD）之间的联系，表明一般情况下 APPD 不被 $θ$-几乎周期性所蕴含，但在连续性和一致可积性条件下可被蕴含。
• 在 $\mathrm{CUB}(\Omega;\mathbb{H})$（有界可测过程空间）中使用压缩映射方法，通过随机卷积定义算子 $\Gamma$。
• 推导出算子 $\Gamma$ 压缩的充分条件（5.22），涉及谱间隙 $\mathfrak{d}$ 与利普希茨常数 $\mathfrak{h}, \mathfrak{g}$，确保解的存在性与唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为随机过程定义一个一致且通用的几乎周期性概念，以统一现有概念如分布几乎周期性与 $p$-范数几乎周期性？
• RQ2 $θ$-几乎周期性是否蕴含路径分布几乎周期性（APPD）？若不蕴含，需何种附加条件可保证此结论？
• RQ3 能否通过严谨的度量动力系统方法纠正先前关于SPDE平方均值几乎周期解的错误声明？
• RQ4 在何种条件下，希尔伯特空间中非自治SPDE的唯一有界弱解会继承 $θ$-几乎周期性与 APPD？
• RQ5 SPDE中系数 $F$ 与 $G$ 的周期性是否可导致解的 $θ$-$\tau$-周期性与有限维分布的周期性？

主要发现

• 本文识别并纠正了先前关于SPDE平方均值几乎周期解研究中的根本性错误，该错误源于伊藤积分中无效的变量替换。
• 证明了在条件 $2\mathfrak{h}^2(1 + \frac{1}{2\mathfrak{d}}) < 1$ 下，解算子 $\Gamma$ 是 $\mathrm{CUB}(\Omega;\mathbb{H})$ 上的压缩映射，从而确保有界弱解的存在性与唯一性。
• 在相同的压缩条件下，证明了唯一的有界弱解 $X$ 既是 $θ$-几乎周期性，也是路径分布意义上的几乎周期性（APPD）。
• 若对所有 $x \in \mathbb{H}$，系数 $F(\cdot,x)$ 与 $G(\cdot,x)$ 均为 $\tau$-周期性，则解 $X$ 为 $θ$-$\tau$-周期性，从而蕴含有限维分布的周期性（PFD）。
• 当 $F$ 与 $G$ 为时间无关时，解亦为 $θ$-平稳，表明平稳性是 $θ$-几乎周期性的特例。
• 提供了一个反例，表明 $θ$-几乎周期性一般不蕴含 APPD，但给出了在连续过程且满足一致可积性条件下的充分条件。