[论文解读] Almost-sure exponential mixing of passive scalars by the stochastic Navier-Stokes equations

Jacob Bedrossian, Alex Blumenthal+1 more|arXiv (Cornell University)|May 9, 2019

Stochastic processes and financial applications被引用 7

一句话总结

该论文在足够大的 $ \sigma $ 下，针对环面上随机驱动的二维 Navier-Stokes 方程与三维超黏性 Navier-Stokes 方程，建立了被动标量的几乎必然指数混合。在非退化的 $ H^\sigma $-正则噪声条件下，利用两点拉格朗日运动的几何遍历性与扭曲马尔可夫半群的谱间隙分析，证明了所有均值为零的 $ H^s $ 标量在 $ H^{-s} $-范数下以确定的速率几乎必然指数衰减，从而确认了淬灭相关性衰减。

ABSTRACT

We deduce almost-sure exponentially fast mixing of passive scalars advected by solutions of the stochastically-forced 2D Navier-Stokes equations and 3D hyper-viscous Navier-Stokes equations in $\mathbb T^d$ subjected to non-denegenerate $H^σ$-regular noise for any $σ$ sufficiently large. That is, for all $s > 0$ there is a deterministic exponential decay rate such that all mean-zero $H^s$ passive scalars decay in $H^{-s}$ at this same rate with probability one. This is equivalent to what is known as \emph{quenched correlation decay} for the Lagrangian flow in the dynamical systems literature. This is a follow-up to our previous work, which establishes a positive Lyapunov exponent for the Lagrangian flow-- in general, almost-sure exponential mixing is much stronger than this. Our methods also apply to velocity fields evolving according to finite-dimensional fluid models, for example Galerkin truncations of Navier-Stokes or the Stokes equations with very degenerate forcing. For all $0 \leq k < \infty $ we exhibit many examples of $C^k_t C^\infty_x$ random velocity fields that are almost-sure exponentially fast mixers.

研究动机与目标

• 建立由随机 Navier-Stokes 方程驱动的流体流动中被动标量的几乎必然指数混合。
• 将先前关于正 Lyapunov 指数的结果推广至更强的淬灭相关性衰减（即指数混合）情形。
• 分析无限维流体模型中，在非退化的 $ H^\sigma $-正则噪声下被动标量的混合行为。
• 证明混合速率是确定性的，并且在几乎所有噪声路径实现下保持一致。
• 将该框架扩展至有限维流体模型，如 Navier-Stokes 和 Stokes 方程的 Galerkin 截断，且适用于退化激励的情形。

提出的方法

• 利用两点拉格朗日运动分析相关性衰减，通过建模随机流下粒子对的演化过程。
• 通过验证强 Feller 性质与不可约性，将几何遍历性理论应用于两点过程。
• 构造一个李雅普诺夫函数 $ \mathcal{V} $，以验证马尔可夫过程几何遍历性的漂移条件。
• 采用 Lasota-Yorke 估计，建立投影过程中的谱间隙，从而实现相关性的指数衰减。
• 分析与流场相关的扭曲马尔可夫半群，以推导连续时间下的相关性衰减估计。
• 利用 Grönwall 不等式与流的雅可比行列式矩估计，控制随机动力系统下范数的增长。

实验结果

研究问题

• RQ1 由随机驱动的二维 Navier-Stokes 方程生成的拉格朗日流是否表现出被动标量的几乎必然指数混合？
• RQ2 在无扩散性条件下，能否在非退化的 $ H^\sigma $-正则噪声下建立被动标量的淬灭相关性衰减？
• RQ3 先前工作中得到的正 Lyapunov 指数在多大程度上能推出更强的混合行为，如相关性的指数衰减？
• RQ4 该框架能否扩展至如 Galerkin 截断等有限维流体模型，且适用于极退化的激励？
• RQ5 随机混合速率的本质是什么？能否在概率上实现一致有界？

主要发现

• 对所有 $ s > 0 $，存在一个确定的 $ \hat{\gamma} > 0 $，使得所有均值为零的 $ H^s $ 被动标量在 $ H^{-s} $-范数下以速率 $ e^{-\hat{\gamma}t} $ 几乎必然衰减。
• 混合速率与初始速度及布朗运动路径无关，随机常数 $ D(u,\omega) $ 仅控制初始振幅。
• 在足够大的 $ \sigma $ 下，非退化的 $ H^\sigma $-正则噪声条件下，二维 Navier-Stokes 方程与三维超黏性 Navier-Stokes 方程均满足指数混合。
• 该结果在动力系统文献中等价于淬灭相关性衰减，其条件强于正 Lyapunov 指数。
• 该方法适用于 $ C^k_t C^\infty_x $ 随机速度场，且展示了大量几乎必然指数混合的流场实例。
• 对所有 $ p > 0 $，随机混合常数 $ D(u,\omega) $ 的矩均一致有界，确保了衰减估计的鲁棒性。