[论文解读] (Almost) tight bounds for randomized and quantum Local Search on hypercubes and grids

Shengyu Zhang|ArXiv.org|Apr 12, 2005

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 21被引用 4

一句话总结

该论文利用先进的 adversary 方法，为布尔超立方体和常数维网格上的局部搜索问题建立了近乎紧致的随机化与量子查询复杂度界限。研究证明：对于 n 维超立方体，随机化复杂度为 Θ(2ⁿᐟ²√n)，量子复杂度为 Θ(2ⁿᐟ³n¹ᐟ⁶)；而对于 d 维网格，当 d≥4 时随机化复杂度为 Θ(N¹ᐟ²)，当 d≥6 时量子复杂度为 Θ(N¹ᐟ³)，表明在这些结构上通用搜索算法的最优性。

ABSTRACT

The Local Search problem, which finds a local minimum of a black-box function on a given graph, is of both practical and theoretical importance to many areas in computer science and natural sciences. In this paper, we show that for the Boolean hypercube $\B^n$, the randomized query complexity of Local Search is $Θ(2^{n/2}n^{1/2})$ and the quantum query complexity is $Θ(2^{n/3}n^{1/6})$. We also show that for the constant dimensional grid $[N^{1/d}]^d$, the randomized query complexity is $Θ(N^{1/2})$ for $d \geq 4$ and the quantum query complexity is $Θ(N^{1/3})$ for $d \geq 6$. New lower bounds for lower dimensional grids are also given. These improve the previous results by Aaronson [STOC'04], and Santha and Szegedy [STOC'04]. Finally we show for $[N^{1/2}]^2$ a new upper bound of $O(N^{1/4}(\log\log N)^{3/2})$ on the quantum query complexity, which implies that Local Search on grids exhibits different properties at low dimensions.

研究动机与目标

• 填补已知随机化与量子局部搜索在超立方体和网格等结构图上的上界与下界之间的差距。
• 证明通用局部搜索算法（如基于随机游走的算法）在布尔超立方体和常数维网格上的最优性。
• 分析低维网格在量子与随机化查询模型下局部搜索的查询复杂度，此前的界限不够紧致。
• 提出一种基于随机游走与 adversary 方法在乘积图上建立局部搜索下界的一般框架。
• 为 2D 网格提供一个新的量子上界，表明在低维情况下与高维情况下的行为存在本质差异。

提出的方法

• 应用量子 adversary 方法，特别是 Zhang（2005）提出的变体，推导量子查询复杂度的下界。
• 使用 Aaronson（2004）提出的关联 adversary 方法，证明随机化查询复杂度的下界。
• 采用基于子图上随机游走的递归算法，通过迭代细化搜索区域以定位局部极小值。
• 提出一种基于分解的乘积图框架，利用随机游走的混合时间与转移概率来界定查询复杂度。
• 利用无自交随机游走与块分解（例如 2D 网格中的 n²ᐟ⁵ 个块）来提升低维情况下的下界。
• 通过分层搜索策略推导上界，该策略采样顶点并查询其邻居，复杂度依赖于扩张性质 c(k) 与 r(k)。

实验结果

研究问题

• RQ1 布尔超立方体 {0,1}ⁿ 上局部搜索的精确随机化查询复杂度是多少？
• RQ2 布尔超立方体 {0,1}ⁿ 上局部搜索的精确量子查询复杂度是多少？
• RQ3 常数维网格 [N¹ᐟᵈ]ᵈ 上局部搜索的查询复杂度如何随不同维度 d 变化？
• RQ4 能否在先前结果不够紧致的低维网格（如 d=2,3,4,5）上建立更紧致的下界？
• RQ5 2D 网格上的局部搜索是否表现出与高维网格根本不同的量子复杂度？

主要发现

• 对于布尔超立方体 {0,1}ⁿ，随机化查询复杂度为 Θ(2ⁿᐟ²√n)，与已知上界一致，证明通用算法的最优性。
• 对于布尔超立方体 {0,1}ⁿ，量子查询复杂度为 Θ(2ⁿᐟ³n¹ᐟ⁶)，确立了量子上界的紧致性。
• 对于 d 维网格 [N¹ᐟᵈ]ᵈ 且 d≥4 的情况，随机化查询复杂度为 Θ(N¹ᐟ²)，表明通用算法是最优的。
• 对于 d 维网格且 d≥6 的情况，量子查询复杂度为 Θ(N¹ᐟ³)，证明了量子加速的阶数受限于此。
• 对于 2D 网格，建立了新的量子上界 O(N¹ᐟ⁴(log log N)²)，表明在低维情况下存在不同的行为。
• 对 d=2,3,4,5 网格的下界进行了改进，其中 2≤d≤4 时量子复杂度为 Ω(N¹ᐟ²⁻¹ᐟ⁽ᵈ⁺¹⁾)，d≥6 时为 Ω(N¹ᐟ³)，填补了先前工作的空白。