[论文解读] Almost Tight Lower Bounds for Hard Cutting Problems in Embedded Graphs

Vincent Cohen-Addad, Éric Colin de Verdière+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 1

一句话总结

本文在指数时间假说（ETH）下，为嵌入在曲面上的图上的两个基本切割问题——最短切割图（Shortest Cut Graph）与多边形切割（Multiway Cut）——建立了本质上紧致的条件性下界。研究证明，这两个问题的最佳已知算法几乎是最优的，其时间复杂度与下界仅在指数部分的对数因子范围内存在差异，从而解决了关于曲面图上参数化复杂性与算法最优性的长期悬而未决的问题。

ABSTRACT

We prove essentially tight lower bounds, conditionally to the Exponential Time Hypothesis, for two fundamental but seemingly very different cutting problems on surface-embedded graphs: the Shortest Cut Graph problem and the Multiway Cut problem. A cut graph of a graph G embedded on a surface S is a subgraph of G whose removal from S leaves a disk. We consider the problem of deciding whether an unweighted graph embedded on a surface of genus g has a cut graph of length at most a given value. We prove a time lower bound for this problem of n^{Omega(g/log g)} conditionally to ETH. In other words, the first n^{O(g)}-time algorithm by Erickson and Har-Peled [SoCG 2002, Discr. Comput. Geom. 2004] is essentially optimal. We also prove that the problem is W[1]-hard when parameterized by the genus, answering a 17-year old question of these authors. A multiway cut of an undirected graph G with t distinguished vertices, called terminals, is a set of edges whose removal disconnects all pairs of terminals. We consider the problem of deciding whether an unweighted graph G has a multiway cut of weight at most a given value. We prove a time lower bound for this problem of n^{Omega(sqrt{gt + g^2}/log(gt))}, conditionally to ETH, for any choice of the genus g >=0 of the graph and the number of terminals t >=4. In other words, the algorithm by the second author [Algorithmica 2017] (for the more general multicut problem) is essentially optimal; this extends the lower bound by the third author [ICALP 2012] (for the planar case). Reductions to planar problems usually involve a grid-like structure. The main novel idea for our results is to understand what structures instead of grids are needed if we want to exploit optimally a certain value g of the genus.

研究动机与目标

• 为填补对嵌入在曲面上的图上切割问题参数化复杂性的理解空白，特别是针对亏格为g的曲面图。
• 解决关于最短切割图问题是否在亏格参数化下存在固定参数可满足性（FPT）算法的17年未解之谜。
• 将多边形切割问题在平面图上的已知下界扩展至更高亏格的曲面。
• 开发新的归约技术，利用拓扑亏格而非网格状结构。

提出的方法

• 从具有四正则原图且嵌入在有界亏格曲面中的二元约束满足问题（CSP）出发，利用交叉夹具（cross gadgets）编码变量与约束之间的交互关系。
• 构建一种适用于亏格g的平面类归约框架，用与亏格相关的拓扑构造替代网格结构，以保持复杂性不变。
• 采用基于树宽的论证方法，将CSP实例的复杂性与多边形切割问题的下界联系起来。
• 以指数时间假说（ETH）作为条件性假设，推导出算法运行时间的下界。
• 应用一种新颖的归约技术，确保构造图中相邻交叉夹具之间的多边形切割必须一致，从而强制与CSP解保持一致。
• 结合双维性理论与拓扑图论的结果，推导出运行时间指数部分的紧致界。

实验结果

研究问题

• RQ1 当以曲面的亏格g为参数时，最短切割图问题是否为FPT？
• RQ2 能否显著改进最短切割图问题的O(n^g)算法，例如提升至f(g)n^O(1)？
• RQ3 在具有t个终端的亏格g曲面图上，多边形切割问题的最优运行时间是多少？
• RQ4 能否将平面图上多边形切割问题的基于ETH的下界扩展至更高亏格的曲面？
• RQ5 在基于ETH的归约中，亏格g曲面的哪些结构特征取代了网格的作用？

主要发现

• 在ETH下，最短切割图问题具有条件性下界n^Ω(g / log g)，证明Erickson与Har-Peled提出的O(n^g)算法本质上是最优的。
• 当以亏格g为参数时，最短切割图问题为W[1]-难，从而解决了17年前的开放问题。
• 在具有t个终端的亏格g图上，多边形切割问题在ETH下的条件性下界为n^Ω(√(gt) + g² + t / log(g+t))，与目前已知最佳算法仅在对数因子范围内存在差异。
• 归约框架用与亏格相关的拓扑夹具替代了基于网格的构造，从而在更高亏格曲面上实现了紧致下界。
• 本研究表明，平面图中算法的平方根现象无法以相同方式推广至更高亏格图，因为指数部分同时依赖于亏格与终端数量。
• 结果表明，除非ETH不成立，否则不存在算法能在O(n^α√(gt) + t / log(g+t))时间内解决亏格g图上的多边形切割问题，其中α足够小。