[论文解读] $\alpha$-type Hochschild cohomology of Hom-associative algebras and Hom-bialgebras

Benedikt Hurle, Abdenacer Makhlouf|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2018

Advanced Topics in Algebra参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文为乘法 Hom-结合代数与 Hom-双代数引入了一种新的上同调理论，称为 α-型 Hochschild 上同调，该理论同时纳入了乘法与结构映射 α 的形变。该理论推广了经典 Hochschild 上同调与 Gerstenhaber-Schack 上同调，为 α 不固定时 Hom-代数中的形变理论提供了统一框架。其主要贡献在于构建了一个双复结构，用于控制在 α-扭作用下代数与余代数结构的形变。

ABSTRACT

In this paper we define a new cohomology for multiplicative Hom-associative algebras, which generalize Hochschild cohomology and fits with deformations of Hom-associative algebras including the structure map $\alpha$. It is a generalization of the known Hochschild-type cohomology for Hom-associative algebras defined by Amar, Ejbehi and Makhlouf. Moreover, we provide various observations and similarly a new cohomology of Hom-bialgebras extending the Gerstenhaber-Schack cohomology for Hom-bialgebras given by Dekkar and Makhlouf.

研究动机与目标

• 为 Hom-结合代数中乘法与结构映射 α 的形变建立一个上同调理论。
• 通过在复形中纳入 α 的作用，推广现有的 Hom-代数 Hochschild 型上同调。
• 将上同调框架扩展至 Hom-双代数，推广 Gerstenhaber-Schack 上同调。
• 为 α 可变（非固定）的 Hom-结合代数建立形变理论。
• 为 Hom-双代数提供一个双复结构，以编码在 α-扭下乘法与共乘法的形变。

提出的方法

• 通过涉及 α 的映射对，为乘法 Hom-结合代数定义一个新的上同调复形，推广经典 Hochschild 上同调链。
• 构建一个双复结构，其微分分量 ∂µµ、∂µα、∂αα、∂αµ 作用于类型为 (ϕ, ψ, χ, ξ) 的上同调链，其度数为 (i,j)，分别对应 µ 与 α-结构。
• 利用 Yau 扭转构造，当 α 可逆时，将 α-型上同调与经典上同调联系起来。
• 在上同调复形上建立 L∞-结构，以编码高阶同伦关系。
• 通过包含 µ∆、α∆、α∆、αβ 与 µβ 分量的五项复形，为 Hom-双代数定义 Gerstenhaber-Schack 型上同调。
• 通过张量积与 α-扭模结构验证微分的平方为零，确保复形定义良好。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 Hochschild 上同调推广至包含 Hom-结合代数中结构映射 α 的形变？
• RQ2 新 α-型上同调与 AEM11 中已有的 Hochschild 型上同调之间存在何种关系？
• RQ3 在 α 可逆时，α-型上同调在 Yau 扭转构造下的行为如何？
• RQ4 该新上同调是否能完全控制 Hom-结合代数的形变理论，包括 α 的变化？
• RQ5 如何将 Hom-双代数的 Gerstenhaber-Schack 上同调扩展以包含 α-扭结构？

主要发现

• α-型 Hochschild 上同调复形被定义为一个双复结构，其分量为 ∂µµ、∂µα、∂αα、∂αµ，且满足 ∂² = 0，确保其为有效的上同调理论。
• 当 α = id 时，α-型上同调退化为经典 Hochschild 上同调；当 α 可逆时，其通过 Yau 扭转与 AEM11 上同调相关联。
• 对于 Hom-结合代数，当乘法与 α 同时形变时，其受 α-型上同调控制，一阶形变由 H¹ 控制。
• 该上同调具有 L∞-结构，表明其兼容于代数结构的高阶同伦运算。
• 对于满足 α = β 的 Hom-双代数，识别出全双复形的一个子复形，其由约束 ψi,j = χi−1,j+1 与 ξi,j = 0 定义，且在微分下保持不变。
• Hom-双代数的最终上同调复形为 CGSi = ⊕_{j=1}^{i-1} Hj,i−j ⊕ ⊕_{j=1}^{i−2} Hj,i−j−1，其具有显式微分 ∂µµ、∂µα、∂αα、∂αµ 及其对偶。