[论文解读] Alternating Path and Coloured Clustering

Leizhen Cai, On Yin Leung|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2018

Advanced Graph Theory Research参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文揭示了彩色聚类问题——通过顶点着色使边着色图中稳定边数量最大化——等价于寻找最大顶点单色子图，或删除最少边以消除所有交替路径。该文提出一种时间复杂度为 O(m^{3/2} log n) 的算法用于边双色图，通过最小割归约实现；证明了最大度为四的边三色平面二分图中该问题的 NP-完全性；并给出了以稳定边与不稳定边为参数的 FPT 算法，其顶点核大小为 4k，边核大小为 2k² + k。

ABSTRACT

In the Coloured Clustering problem, we wish to colour vertices of an edge coloured graph to produce as many stable edges as possible, i.e., edges with the same colour as their ends. In this paper, we reveal that the problem is in fact a maximum subgraph problem concerning monochromatic subgraphs and alternating paths, and demonstrate the usefulness of such connection in studying these problems. We obtain a faster algorithm to solve the problem for edge-bicoloured graphs by reducing the problem to a minimum cut problem. On the other hand, we push the NP-completeness of the problem to edge-tricoloured planar bipartite graphs of maximum degree four. Furthermore, we also give FPT algorithms for the problem when we take the numbers of stable edges and unstable edges, respectively, as parameters.

研究动机与目标

• 将彩色聚类问题重新表述为涉及顶点单色子图与交替路径消除的最大子图问题。
• 改进边双色图上彩色聚类问题的求解时间复杂度。
• 证明最大度为四的边三色平面二分图中彩色聚类问题的 NP-完全性。
• 为以稳定边与不稳定边数量为参数的彩色聚类问题设计 FPT 算法。
• 为不稳定边参数化问题推导出大小为 O(k) 的多项式核。

提出的方法

• 将边双色图上的彩色聚类问题归约为最小割问题，以实现更快计算。
• 从原图 G 构造压缩图 G*，以简化边冲突分析与核化过程。
• 利用边冲突图 X(G*) 建模冲突对，并将冲突对移除问题归约为顶点覆盖问题。
• 在 X(G*) 上应用时间复杂度为 1.2783^k 的加权顶点覆盖算法，以求解冲突对移除问题。
• 利用彩色聚类与交替路径移除之间的等价性，将算法技术进行转移应用。
• 通过彩色顶点与不稳定边的结构界，为不稳定边参数化问题推导出最多含 4k 个顶点与 2k² + k 条边的核。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过基于最小割的方法，使边双色图上的彩色聚类问题求解时间复杂度优于 O(m^{3/2}n)？
• RQ2 边三色平面二分图中最大度为四的彩色聚类问题是否为 NP-完全问题？
• RQ3 当以稳定边或不稳定边数量为参数时，能否为彩色聚类问题设计 FPT 算法？
• RQ4 是否存在一个多项式核，用于寻找至少包含 k 条边的顶点单色子图？
• RQ5 是否存在一个 FPT 算法，可通过删除至多 k 条边来消除所有交替环？

主要发现

• 通过最小割归约，为边双色图设计出时间复杂度为 O(m^{3/2} log n) 的算法，优于先前基于二分图独立集的 O(m^{3/2}n) 算法。
• 将彩色聚类问题的 NP-完全性扩展至最大度为四的边三色平面二分图。
• 为稳定边与不稳定边参数均设计了 FPT 算法，其中不稳定边参数的核大小最多为 4k 个顶点与 2k² + k 条边。
• 通过核化与在边冲突图上的加权顶点覆盖，冲突对移除问题可在 O(m + n + 1.2783^k) 时间内求解。
• 寻找至少包含 k 条边的顶点单色子图的问题存在大小为 O(k) 的核，表明可能实现更快的精确算法。
• 彩色聚类、顶点单色子图与交替路径移除之间的联系，为算法分析提供了统一的框架。