[论文解读] Alternating projections and coupling slope

Dmitriy Drusvyatskiy, A. D. Ioffe+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2014

Optimization and Variational Analysis参考文献 37被引用 16

一句话总结

本文通过分析一个非光滑耦合函数的下降率，建立了非凸集上交替投影法的局部线性收敛性，且无需常规的正则性或标准横截性假设。对于半代数和有界集，进一步证明了在无任何横截性条件下的子序列收敛性。

ABSTRACT

We consider the method of alternating projections for finding a point in the intersection of two possibly nonconvex closed sets. We present a local linear convergence result that makes no regularity assumptions on either set (unlike previous results), while at the same time weakening standard transver-sal intersection assumptions. The proof grows out of a study of the slope of a natural nonsmooth coupling function. When the two sets are semi-algebraic and bounded, we also prove subsequence convergence to the intersection with no transversality assumption. Key words: alternating projections, linear convergence, variational analysis, slope, transversality AMS 2000 Subject Classification: 49M20, 65K10, 90C30 1

研究动机与目标

• 在不假设集合具有正则性的情况下，建立非凸闭集上交替投影法的局部线性收敛性。
• 弱化非凸设置中通常所需的标准化横截性条件。
• 将非光滑耦合函数的下降率分析作为收敛性分析的核心工具。
• 在最小几何假设下，证明半代数和有界集的子序列收敛性。
• 将变分分析中的收敛保证扩展到更广泛的非凸集类别。

提出的方法

• 引入一个非光滑耦合函数，通过分析其下降率来推导收敛性质。
• 运用变分分析工具，特别是非光滑优化中的下降率概念。
• 基于下降率在交点附近的性质，进行局部线性收敛性分析。
• 利用半代数几何，在无横截性假设下建立收敛性。
• 结合度量正则性与基于下降率的估计，证明在弱几何条件下收敛性。
• 利用有界半代数集的结构，确保子序列的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无正则性或横截性假设的情况下，交替投影法能否对非凸集实现线性收敛？
• RQ2 耦合函数的下降率如何与交替投影法的收敛速率相关？
• RQ3 在集合为半代数且有界时，何种几何条件可确保子序列收敛？
• RQ4 在非凸可行性问题中，横截性假设能在多大程度上被弱化或移除？
• RQ5 下降率分析能否为非凸交替投影方法中的收敛性提供统一框架？

主要发现

• 在无任何集合正则性假设的情况下，交替投影法对非凸闭集实现了局部线性收敛。
• 收敛结果在一种弱化的横截性形式下成立，使其适用于比以往结果更广泛的问题类别。
• 证明了自然非光滑耦合函数的下降率是实现收敛性证明的关键分析工具。
• 对于半代数和有界集，即使在无任何横截性假设下，也能保证子序列收敛到交集。
• 该分析为非凸可行性问题中的收敛性提供了一个新框架，基于下降率理论。
• 结果将交替投影法的适用范围扩展到以往方法需强几何假设的非凸设置。