[论文解读] Alternative linear structures associated with regular Lagrangians. Weyl quantization and the Von Neumann uniqueness theorem

Elisa Ercolessi, Alberto Ibort+2 more|ArXiv.org|Feb 3, 2006

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文证明，$TQ$ 上的正则拉格朗日量可诱导 $TQ$ 上的替代线性结构，从而实现不同的外尔量子化程序。这些非等价的量子化通过在不同拉格朗日子流形上使用不同的测度，避开了冯诺依曼唯一性定理。

ABSTRACT

We discuss how the existence of a regular Lagrangian description on the tangent bundle $TQ$ of some configuration space $Q$ allows for the construction of a linear structure on $TQ$ that can be considered as "adapted" to the given dynamical system. The fact then that many dynamical systems admit alternative Lagrangian descriptions opens the possibility to use the Weyl scheme to quantize the system in different non equivalent ways, "evading", so to speak, the von Neumann uniqueness theorem.

研究动机与目标

• 研究 $TQ$ 上的正则拉格朗日描述如何在切从丛上诱导动力线性结构。
• 检验多个非等价的拉格朗日描述是否允许非等价的外尔量子化。
• 分析此类量子化如何规避冯诺依曼唯一性定理。
• 通过标准向量空间结构的微分同胚，在 $TQ$ 上构造替代线性结构。
• 证明不同拉格朗日子流形与勒贝格测度会在不同的量子化方案中出现。

提出的方法

• 通过微分同胚 $\phi: E \to M$ 在 $TQ$ 上定义替代线性结构，将标准向量空间 $E$ 中的线性运算引入。
• 将关联的路易维勒（缩放）向量场 $\Delta = \phi_* \Delta_0$ 构造为新线性结构的无穷小生成元。
• 证明在新结构下，拉格朗日二形式 $\omega_\mathcal{L}$ 可化为标准达布形式。
• 通过在 $TQ$ 的拉格朗日子流形上的平方可积函数的希尔伯特空间上实现外尔系统，应用外尔量子化程序。
• 利用标准路易维勒场的前推来定义新线性运算及其无穷小生成元。
• 分析具体例子，包括坐标为 $x_1,x_2,x_3$ 的球面 $S^2$，以说明非平凡线性结构及其动力学。

实验结果

研究问题

• RQ1 $TQ$ 上的正则拉格朗日量是否能诱导一个与系统动力学相适应的 $TQ$ 上的线性结构？
• RQ2 非等价的拉格朗日描述（不通过全微分变化）是否导致 $TQ$ 上的非等价线性结构？
• RQ3 此类非等价线性结构是否能支持具有不同希尔伯特空间结构的独立外尔量子化？
• RQ4 是否可通过此类替代量子化方案避开冯诺依曼唯一性定理？
• RQ5 不同拉格朗日量所诱导的不同线性结构下，勒贝格测度与拉格朗日子流形如何变换？

主要发现

• 通过从标准向量空间的微分同胚，正则拉格朗日量可在 $TQ$ 上构造出与系统动力学相适应的线性结构。
• 所诱导的线性结构导致 $\mathbb{R}^{2n}$ 在 $TQ$ 上的新作用，且拉格朗日二形式 $\omega_\mathcal{L}$ 可表示为标准达布形式。
• 同一系统下不同的正则拉格朗日量产生非等价线性结构，进而在不同的拉格朗日子流形上导致不同的外尔量子化。
• 由于各自子流形上勒贝格测度不同，这些量子化所生成的希尔伯特空间结构彼此不等价。
• 冯诺依曼唯一性定理被规避，因为所得外尔系统并非酉等价。
• 显式例子（包括坐标为 $x_1,x_2,x_3$ 的球面 $S^2$）通过类似球极投影的微分同胚及其关联的缩放场，展示了非平凡线性结构。