[论文解读] Alternative Mathematics without Actual Infinity

Tōru Tsujishita|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2012

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 22被引用 3

一句话总结

本文提出了一种替代性的数学框架，用有限性的质性多重性取代实际无穷，通过可访问的有限集合和诸如'不可区分性'等模糊概念来构建连续统。该框架发展出一种独立于ZFC的非标准数学体系，通过内部测量和基于苏勒特斯悖论的等价关系建立实数、微积分和测度论，形成一种无需无穷集合的连贯、直觉主义的分析基础。

ABSTRACT

An alternative mathematics based on qualitative plurality of finiteness is developed to make non-standard mathematics independent of infinite set theory. The vague concept "accessibility" is used coherently within finite set theory whose separation axiom is restricted to definite objective conditions. The weak equivalence relations are defined as binary relations with sorites phenomena. Continua are collection with weak equivalence relations called indistinguishability. The points of continua are the proper classes of mutually indistinguishable elements and have identities with sorites paradox. Four continua formed by huge binary words are examined as a new type of continua. Ascoli-Arzela type theorem is given as an example indicating the feasibility of treating function spaces. The real numbers are defined to be the points on the linear continuum and have indefiniteness. Exponentiation is introduced by the Eulerian style and basic properties are established. Basic calculus is developed and the differentiability is captured by the behavior on a point. Main tools of Lebesgue measure theory is obtained in a similar way as Loeb measure. Differences from the current mathematics are examined, such as the indefiniteness of natural numbers, qualitative plurality of finiteness, mathematical usage of vague concepts, the continuum as a primary inexhaustible entity and the hitherto disregarded aspect of "internal measurement" in mathematics.

研究动机与目标

• 开发一种独立于康托无穷集合理论的非标准数学，避免依赖ZFC作为基础。
• 通过将无穷视为大规模有限性的现象，调和离散与连续之间的哲学与数学张力。
• 在有限集合理论内，对'可及性'和'不可区分性'等模糊概念进行逻辑上一致的正式化。
• 通过苏勒特斯关系和作为不可区分元素的真类的点，重构实数、微积分和测度论。
• 引入'内部测量'作为基础原则，反映数学观察中的认知局限。

提出的方法

• 基于明确客观条件的受限分离公理，定义有限集合理论中的半集和类。
• 通过苏勒特斯现象定义弱等价关系，即微小变化不改变身份，构成连续统的基础。
• 将连续统构作成配备不可区分性关系的集合，其中点是相互不可区分元素的真类。
• 提出实数的新定义：作为线性连续统上的点，继承自底层结构的模糊性。
• 采用欧拉风格的指数运算，并通过差商和无穷小泰勒展开发展微积分。
• 类比Loeb测度建立测度论，使用零半集和在可测半集上的积分。

实验结果

研究问题

• RQ1 非标准分析能否在不诉诸实际无穷或ZFC的前提下完全重构？
• RQ2 在有限数学中，如何使'可及性'和'不可区分性'等模糊概念在逻辑上保持一致？
• RQ3 苏勒特斯悖论在定义连续性和连续统中起什么作用？
• RQ4 当自然数的总体性本身是模糊的时，如何发展微积分和测度论？
• RQ5 内部测量——反映认知局限——以何种方式重塑数学对象的基础？

主要发现

• 发展出一种一致的数学框架，通过将数学建立在有限性的质性多重性和可访问有限集合之上，避免了实际无穷。
• 实数被定义为线性连续统上的点，其模糊性继承自基于苏勒特斯的不可区分性结构。
• 确立了一个阿斯科利-阿尔泽拉定理的版本，证明该体系中处理函数空间的可行性。
• 以欧拉风格引入指数运算，并在不使用无穷集合的前提下推导出基本代数与解析性质。
• 通过零半集和在可测半集上的积分重构测度论，类比Loeb测度但存在于有限集合理论之内。
• 该框架支持一种新观点：数学对象通过定理动态精炼，反映内部测量与认知局限。