[论文解读] Ambikaehler geometry, ambitoric surfaces and Einstein 4-orbifolds

Vestislav Apostolov, David M. J. Calderbank+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2010

Geometry and complex manifolds参考文献 26被引用 4

一句话总结

本文对具有共同环面作用的4-流形上共形等价、方向相反的凯勒度量进行了局部分类，揭示了其几何结构由一个二次多项式及两个变量的任意函数所支配——当度量为极值时，这些函数显式为四次多项式。主要贡献在于对既是复结构下爱因斯坦4-轨道丛的显式局部描述，其在任一方向下均为全纯的，扩展了对自对偶爱因斯坦全纯流形的研究，并由此构造出无穷多组紧致环面型极值凯勒轨道丛。

ABSTRACT

We give an explicit local classification of conformally equivalent but oppositely oriented Kaehler metrics on a 4-manifold which are toric with respect to a common 2-torus action. In the generic case, these structures have an intriguing local geometry depending on a quadratic polynomial and two arbitrary functions of one variable, these two functions being explicit degree 4 polynomials when the Kaehler metrics are extremal (in the sense of Calabi). One motivation for and application of this result is an explicit local description of Einstein 4-manifolds which are hermitian with respect to either orientation. This can be considered as a riemannian analogue of a result in General Relativity due to R. Debever, N. Kamran, and R. McLenaghan, and is a natural extension of the classification of selfdual Einstein hermitian 4-manifolds, obtained independently by R. Bryant and the first and third authors. We discuss toric compactifications of these metrics on orbifolds and provide infinite discrete families of compact toric extremal Kaehler orbifolds. Our examples include Bach-flat Kaehler orbifolds which are conformal to complete smooth Einstein metrics on an open subset. We illustrate how these examples fit with recent conjectures relating the existence of extremal toric metrics to various notions of stability.

研究动机与目标

• 对具有共同2-环面作用的4-流形上共形等价但方向相反的凯勒度量进行分类。
• 以一个二次多项式和两个单变量任意函数的形式，提供此类结构的局部几何描述。
• 将该分类应用于构造在任一方向下均为全纯的爱因斯坦4-轨道丛的显式例子。
• 通过环面紧化方法，从局部解构造出无穷离散族的紧致环面型极值凯勒轨道丛。
• 在近期猜想的背景下，将极值环面度量的存在性与稳定性概念联系起来。

提出的方法

• 利用环面对称性将问题约化为涉及两个单变量函数的常微分方程与偏微分方程组。
• 通过一个二次多项式和两个任意函数构造局部凯勒度量，极值情形下显式给出四次多项式形式。
• 应用双凯勒形式语言，通过共形等价关系关联方向相反的凯勒结构。
• 在双凯勒设定下推导爱因斯坦条件，导出约束两个函数的方程组。
• 利用环面紧化技术，从局部解构造出紧致轨道丛例子。
• 分析所得度量以验证极值性、Bach平坦性以及在开子集上的共形完备性。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有共同环面作用的4-流形上，共形等价但方向相反的凯勒度量的局部结构为何？
• RQ2 此类度量的几何不变量如何依赖于一个二次多项式和两个单变量任意函数？
• RQ3 该分类能否产生在任一方向下均为全纯的爱因斯坦4-轨道丛的显式例子？
• RQ4 通过局部解的环面紧化，可构造出哪些无穷离散族的紧致环面型极值凯勒轨道丛？
• RQ5 这些例子与极值环面度量的猜想稳定性条件有何关联？

主要发现

• 方向相反且共形等价的凯勒度量的局部几何由一个二次多项式和两个单变量任意函数决定。
• 当凯勒度量为极值时，这两个函数显式表示为四次多项式。
• 该分类在黎曼几何中给出了Debever、Kamran与McLenaghan在广义相对论中结果的类比。
• 该构造产生了无穷多组离散的紧致环面型极值凯勒轨道丛。
• 例子包括Bach平坦的凯勒轨道丛，其在开子集上共形等价于光滑爱因斯坦度量。
• 结果支持近期将极值环面度量与代数几何中的稳定性概念相联系的猜想。