[论文解读] Amenability and Acyclicity in Bounded Cohomology Theory

Marco Moraschini, George Raptis|arXiv (Cornell University)|May 6, 2021

Advanced Operator Algebra Research参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文通过有界上同调中的等距同构，完全刻画了可瑕群同态与有界余挠群同态，扩展了 Johnson 对可瑕群的刻画。证明了当且仅当对所有对偶赋范 ℝ[Γ]-模 V，有界上同调中的上拉映射是等距同构时，一个满射同态具有可瑕核；并将这些结果通过同伦纤维推广至拓扑空间，将可瑕性与余挠性与有界上同调的消失性联系起来。

ABSTRACT

Johnson's characterization of amenable groups states that a discrete group $Γ$ is amenable if and only if $H_b^{n \geq 1}(Γ; V) = 0$ for all dual normed $\mathbb{R}[Γ]$-modules V. In this paper, we extend the previous result to homomorphisms by proving the converse of the Mapping Theorem: a surjective group homomorphism $ϕ\colon Γ o K$ has amenable kernel H if and only if the induced inflation map $H^\bullet_b(K; V^H) o H^\bullet_b(Γ; V)$ is an isometric isomorphism for every dual normed $\mathbb{R}[Γ]$-module V. In addition, we obtain an analogous characterization for the (smaller) class of surjective group homomorphisms $ϕ\colon Γ o K$ with the property that the inflation maps in bounded cohomology are isometric isomorphisms for all Banach $Γ$-modules. Finally, we also prove a characterization of the (larger) class of boundedly acyclic homomorphisms, that is, the class of group homomorphisms $ϕ\colon Γ o K$ for which the restriction maps in bounded cohomology $H^\bullet_b(K; V) o H^\bullet_b(Γ; ϕ^{-1}V)$ are isomorphisms for a suitable family of dual normed $\mathbb{R}[K]$-modules V including the trivial $\mathbb{R}[K]$-module $\mathbb{R}$. We then extend the first and third results to topological spaces and obtain characterizations of amenable maps and boundedly acyclic maps in terms of the vanishing of the bounded cohomology of their homotopy fibers with respect to appropriate choices of coefficients.

研究动机与目标

• 通过有界上同调将 Johnson 对可瑕群的刻画推广至群同态。
• 通过有界上同调中的等距同构刻画可瑕映射，建立对 Gromov 映射定理的逆定理。
• 通过相对于合适系数类的同构，刻画有界余挠同态。
• 通过同伦纤维与有界上同调，将结果从群推广至拓扑空间。
• 将结果应用于单纯体积，证明在余挠性条件下相对单纯体积的消失性。

提出的方法

• 证明：对任意满射群同态 φ: Γ → K，其核 H 可瑕当且仅当对所有对偶赋范 ℝ[Γ]-模 V，有界上同调中的上拉映射 Hᵇ•(K; Vᴴ) → Hᵇ•(Γ; V) 是等距同构。
• 利用映射 f: X → Y 的同伦纤维 F 的结构，将 f 的可瑕性与 π₁(F) 的可瑕性及 f* 的核联系起来。
• 将可瑕映射定义为有界上同调中上拉映射为等距同构的映射，推广 Johnson 的刻画。
• 引入有界余挠映射，即对包含 ℝ 在内的某类系数，其限制映射在有界上同调中为同构的映射。
• 将结果应用于带有边界的流形的相对有界上同调，利用有界上同调中的长正合列。
• 利用有界上同调与普通上同调之间的比较映射，将单纯体积的消失性与有界上同调的消失性联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 何时一个满射群同态 φ: Γ → K 满足：对所有对偶赋范 ℝ[Γ]-模 V，有界上同调中的上拉映射 Hᵇ•(K; Vᴴ) → Hᵇ•(Γ; V) 是等距同构？
• RQ2 映射 f: X → Y 的可瑕性的拓扑类比是什么？如何通过有界上同调刻画？
• RQ3 哪些群同态 φ: Γ → K 满足：对某类合适系数 V，限制映射 Hᵇ•(K; V) → Hᵇ•(Γ; φ⁻¹V) 是同构？
• RQ4 映射 f: X → Y 的同伦纤维 F 的有界上同调与 f 的可瑕性或余挠性有何关系？
• RQ5 在何种条件下，带有边界的流形的相对单纯体积消失？这与有界上同调有何关联？

主要发现

• 一个满射群同态 φ: Γ → K 具有可瑕核当且仅当对所有对偶赋范 ℝ[Γ]-模 V，有界上同调中的上拉映射 Hᵇ•(K; Vᴴ) → Hᵇ•(Γ; V) 是等距同构。
• 有界余挠同态 φ: Γ → K 的类由条件刻画：对所有对偶赋范 ℝ[K]-模 V（包括 ℝ），限制映射 Hᵇ•(K; V) → Hᵇ•(Γ; φ⁻¹V) 是同构。
• 对一个基于路径连通空间的映射 f: X → Y，f 是可瑕的当且仅当其同伦纤维 F 满足 π₁(F) 可瑕，这推广了 Johnson 定理至映射情形。
• 映射 f: X → Y 是有界 n-余挠的当且仅当其同伦纤维 F 满足 Hᵇᵏ(F; ℝ) = 0 对所有 1 ≤ k ≤ n。
• 若包含映射 i: ∂M → M 的同伦纤维 F 是有界 (n−1)-余挠的，则对所有 0 ≤ k ≤ n，有 Hᵇᵏ(M, ∂M; ℝ) = 0。
• 作为推论，若边界包含映射的同伦纤维是有界 (n−1)-余挠的，则相对单纯体积 ‖M, ∂M‖ 消失。