[论文解读] Amenability and paradoxical decompositions for pseudogroups and for discrete metric spaces

Tullio Ceccherini‐Silberstein, Rostislav Grigorchuk+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 79被引用 83

一句话总结

本文建立了一套全面的框架，将拟群和离散度量空间中的可约性、悖论分解以及几何性质联系起来。通过拟群形式化方法和Hall-Rado匹配定理，证明了可约性等价于Følner条件，并进一步将其与等周不等式、随机游动中的谱间隙，以及局部有限度量空间中Gromov双重条件的否定联系起来。

ABSTRACT

This is an expostion of various aspects of amenability and paradoxical decompositions for groups, group actions and metric spaces. First, we review the formalism of pseudogroups, which is well adapted to stating the alternative of Tarski, according to which a pseudogroup without invariant mean gives rise to paradoxical decompositions, and to defining a F{\\o}lner condition. Using a Hall-Rado Theorem on matchings in graphs, we show then for pseudogroups that existence of an invariant mean is equivalent to the F{\\o}lner condition; in the case of the pseudogroup of bounded perturbations of the identity on a locally finite metric space, these conditions are moreover equivalent to the negation of the Gromov's so-called doubling condition, to isoperimetric conditions, to Kesten's spectral condition for related simple random walks, and to various other conditions. We define also the minimal Tarski number of paradoxical decompositions associated to a non-amenable group action (an integer $\\ge 4$), and we indicate numerical estimates (Sections II.4 and IV.2). The final chapter explores for metric spaces the notion of supramenability, due for groups to Rosenblatt.

研究动机与目标

• 在拟群形式化框架内重构塔斯基选择定理——非可约拟群允许悖论分解。
• 为作用于局部有限度量空间的拟群建立可约性与Følner条件之间的等价性。
• 将可约性与等周轮廓、Kesten的谱条件以及Gromov双重条件的否定等几何与谱不变量联系起来。
• 定义并估计非可约群作用中悖论分解的最小塔斯基数。
• 将Rosenblatt的超可约性概念推广至拟群和局部有限度量空间，并研究其在增长类型与嵌入方面的含义。

提出的方法

• 使用集合论拟群的形式化方法来建模群作用和度量扰动，具备有限粘贴和限制下的封闭性。
• 应用图论中的Hall-Rado定理证明：在拟群中，不变平均的存在性等价于Følner条件。
• 将局部有限度量空间上恒等映射的有界扰动视为一类关键的拟群。
• 通过Kesten的简单随机游动准则，将Følner条件与等周不等式及谱间隙联系起来。
• 运用组合与几何技术估计非可约群的塔斯基数，包括奥尔什安斯基与伯恩赛德构造中的无扭群和有扭群。
• 将Rosenblatt的超可约性概念推广至拟群和度量空间，利用Lipschitz嵌入与不变测度。

实验结果

研究问题

• RQ1 拟群中的可约性是否等价于Følner条件，其与几何和谱性质有何关联？
• RQ2 非可约群作用的塔斯基数能否被上下界限定，目前已知的最优估计是什么？
• RQ3 是否存在一个局部有限度量空间，其为超可约但具有超指数增长？
• RQ4 在局部有限度量空间中，亚指数、指数与超指数增长的概念在粗等价下是否保持不变？
• RQ5 两个超可约群的直积是否总是超可约？超可约群是否可能具有指数增长？

主要发现

• 对于作用于局部有限度量空间的有界扰动拟群，可约性等价于Følner条件、Gromov双重条件的否定以及等周不等式。
• 非可约群的塔斯基数满足 $4 \leq \mathcal{T}(G) \leq \infty$，且 $\mathcal{T}(G) = 4$ 当且仅当 $G$ 包含一个非交换自由子群。
• 对于奥尔什安斯基构造的无扭群，有 $5 \leq \mathcal{T}(G) \leq 34$；对于有扭群，有 $6 \leq \mathcal{T}(G) \leq 34$。
• 对于Burnside群 $B(m,n)$，其中 $m \geq 2$ 且奇数 $n \geq 665$，塔斯基数满足 $6 \leq \mathcal{T}(B(m,n)) \leq 14$。
• 存在一个图，其既是超可约又具有超指数增长，表明超可约性并不蕴含亚指数增长。
• 即使商群为阿贝尔-幂零或可解-有限，自由群 $F_m$ 的商群的最小增长速率仍可趋近于 $2m-1$，即可能的最大速率。