[论文解读] Amenability and weak amenability of the Fourier algebra

Brian Forrest, Volker Runde|ArXiv.org|Nov 18, 2002

Advanced Operator Algebra Research被引用 18

一句话总结

本文证明了局部紧群 $G$ 的傅里叶代数 $A(G)$ 是可温的，当且仅当 $G$ 有一个有限指数的阿贝尔子群，并且证明了当恒等连通分支 $G_e$ 为阿贝尔时，$A(G)$ 总是弱可温的。主要贡献在于对 $A(G)$ 的可温性给出了完整的刻画，解决了长期存在的一个猜想，同时在通过 $G_e$ 的结构表征弱可温性方面取得了部分进展。结果依赖于算子空间理论、上同调技术以及李群和 SIN-群的结构分析。

ABSTRACT

Let $G$ be a locally compact group. We show that its Fourier algebra $A(G)$ is amenable if and only if $G$ has an abelian subgroup of finite index, and that its Fourier-Stieltjes algebra $B(G)$ is amenable if and only if $G$ has a compact, abelian subgroup of finite index. We then show that $A(G)$ is weakly amenable if the component of the identity of $G$ is abelian, and we prove some partial results towards the converse.

研究动机与目标

• 解决一个长期存在的猜想：$A(G)$ 可温仅当 $G$ 有一个阿贝尔子群使得其指数有限。
• 研究 $A(G)$ 弱可温的条件，尤其关注恒等连通分支 $G_e$ 的作用。
• 引入并研究 $A(G)$ 的继承弱可温性概念，特别是在 $[\operatorname{SIN}]$-群背景下的情形。
• 建立 $A(G)$ 的弱可温性与 $G_e$ 的阿贝尔性质之间的结构联系，对 $[\operatorname{SIN}]$-群证明其逆命题。

提出的方法

• 利用约翰逊的上同调刻画方法，通过到对偶 Banach 双模上的导子来表征可温性。
• 应用近似对角准则来刻画 $A(G)$ 的可温性，依赖于有界近似单位的存在性。
• 运用算子空间技术，特别是 $A(G)$ 上的自然算子空间结构，来分析弱可温性。
• 对李群及其商群进行结构分析，尤其利用 $[\operatorname{SIN}]$-群的分解 $G_e \cong V \times K$。
• 通过商掉紧正規子群，将问题约化为紧连通李群的情形，利用关于非阿贝尔紧群的已知结果。
• 利用 $A(G/K)$ 在继承弱可温性下继承自 $A(G)$ 的事实，从而在群结构上实现归纳论证。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，局部紧群 $G$ 的傅里叶代数 $A(G)$ 是可温的？
• RQ2 条件“$G$ 有一个有限指数的阿贝尔子群”是否为 $A(G)$ 可温的必要且充分条件？
• RQ3 $A(G)$ 何时是弱可温的？$G_e$ 的阿贝尔性是否蕴含弱可温性？
• RQ4 若 $A(G)$ 是弱可温的，是否可推出 $G_e$ 为阿贝尔，至少在额外的群论假设下成立？
• RQ5 继承弱可温性在刻画 $A(G)$ 弱可温时 $G$ 的结构中起什么作用？

主要发现

• 傅里叶代数 $A(G)$ 是可温的，当且仅当 $G$ 有一个有限指数的阿贝尔子群。
• 傅里叶–斯蒂尔吉斯代数 $B(G)$ 是可温的，当且仅当 $G$ 有一个紧致且阿贝尔的子群，其指数有限。
• 若群 $G$ 的恒等连通分支 $G_e$ 为阿贝尔，则 $A(G)$ 是弱可温的。
• 对于 $[\operatorname{SIN}]$-群，$A(G)$ 是继承弱可温的，当且仅当 $G_e$ 为阿贝尔。
• 若 $A(G)$ 是继承弱可温的且 $G$ 是 $[\operatorname{SIN}]$-群，则其恒等连通分支 $G_e$ 必为阿贝尔。
• 对于 $[\operatorname{IN}]$-群，若 $A(G)$ 是继承弱可温的，则 $G_e$ 存在一个紧致正规子群 $K$，使得 $G_e/K$ 为阿贝尔。