[论文解读] Amenability and weak containment for actions of locally compact groups on $C^*$-algebras

Alcides Buss, Siegfried Echterhoff+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2020

Advanced Operator Algebra Research参考文献 54被引用 8

一句话总结

本文引入了局部紧群在C*-代数上作用的新可约性概念，推广了Anantharaman-Delaroche针对离散群的定义。研究证明，对于交换C*-代数上的作用，该可约性等价于测度意义下的可约性，从而解决了长期悬而未决的开放问题。关键结果推广了Matsumura定理：对于一个精确的局部紧群作用在局部紧空间X上，C₀(X)的全交叉乘积与约化交叉乘积相等，当且仅当该作用是可约的。

ABSTRACT

In this work we introduce and study a new notion of amenability for actions of locally compact groups on $C^*$-algebras. Our definition extends the definition of amenability for actions of discrete groups due to Claire Anantharaman-Delaroche. We show that our definition has several characterizations and permanence properties analogous to those known in the discrete case. For example, for actions on commutative $C^*$-algebras, we show that our notion of amenability is equivalent to measurewise amenability. Combined with a recent result of Alex Bearden and Jason Crann, this also settles a long standing open problem about the equivalence of topological amenability and measurewise amenability for a second countable $G$-space $X$. We use our new notion of amenability to study when the maximal and reduced crossed products agree. One of our main results generalizes a theorem of Matsumura: we show that for an action of an exact locally compact group $G$ on a locally compact space $X$ the full and reduced crossed products $C_0(X) times_\max G$ and $C_0(X) times_{\operatorname{red}} G$ coincide if and only if the action of $G$ on $X$ is amenable. We also show that the analogue of this theorem does not hold for actions on noncommutative $C^*$-algebras. Finally, we study amenability as it relates to more detailed structure in the case of $C^*$-algebras that fibre over an appropriate $G$-space $X$, and the interaction of amenability with various regularity properties such as nuclearity, exactness, and the (L)LP, and the equivariant versions of injectivity and the WEP.

研究动机与目标

• 为局部紧群在C*-代数上的作用定义并研究一种新的可约性概念，扩展离散群的情形。
• 探讨该可约性与近似性质之间的关系，尤其关注弱包含与交叉乘积结构的语境。
• 利用Bearden和Crann的近期结果，解决第二可数G-空间中拓扑可约性与测度意义下可约性的等价性问题。
• 刻画C*-代数的最大交叉乘积与约化交叉乘积何时一致，特别是针对交换C*-代数上的作用。
• 探索可约性与正规性性质（如核性、精确性及等变情形下的(L)LP）之间的联系。

提出的方法

• 通过L∞(G) ⊗̂ A**到A**存在G-等变条件期望来定义G-C*-代数(A, α)的可约性。
• 利用包络G-von Neumann代数构造，将作用提升至von Neumann代数框架，从而通过条件期望分析可约性。
• 建立可约性在理想、商代数及直极限等操作下的保持性质。
• 证明当C*-代数为交换时，可约性等价于测度意义下的可约性，利用Bearden和Crann的结果。
• 应用弱拟中心逼近性质(wQAP)分析Fell丛结构及其与可约性的关系。
• 利用Haagerup标准形式与内射表示研究交换子可约性及其与弱包含的关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于局部紧群在C*-代数上的新可约性概念，其在交换C*-代数上是否等价于测度意义下的可约性？
• RQ2 对于精确的局部紧群G作用在局部紧空间X上，C₀(X) ⋊max G与C₀(X) ⋊red G是否一致，当且仅当G在X上的作用是可约的？
• RQ3 是否存在一个离散群的非可约作用满足弱包含性质？
• RQ4 是否存在一个内在近似性质，与G-C*-代数的交换子可约性等价？
• RQ5 若一个作用在核性C*-代数上是交换子可约的，是否意味着其约化交叉乘积是核性的？

主要发现

• 当C*-代数为交换时，局部紧群在C*-代数上作用的新可约性概念等价于测度意义下的可约性。
• 对于精确的局部紧群G作用在局部紧空间X上，全交叉乘积C₀(X) ⋊max G与约化交叉乘积C₀(X) ⋊red G相等，当且仅当该作用是可约的。
• Matsumura定理的类比在非交换C*-代数上不成立：作用的可约性并不蕴含最大与约化交叉乘积的一致性。
• 在谱为Hausdorff的类型I C*-代数上，若作用是可约的，则其为强可约，从而推广了交换情形下的结果。
• 交换子可约性不蕴含可约性，且存在满足弱包含性质的非可约作用。
• 约化交叉乘积A ⋊red G的核性蕴含A的核性，但除非G属于特定类（如内可约群），否则不蕴含作用的可约性。