[论文解读] Amenability of groups is characterized by Myhill's Theorem

Laurent Bartholdi, Kielak, Dawid|arXiv (Cornell University)|May 30, 2016

Cellular Automata and Applications参考文献 8被引用 23

一句话总结

本文通过细胞自动机建立了可约群的刻画：一个群是可约的，当且仅当其上的每个具有伊甸园模式（GOE）的细胞自动机也具有相互可擦除模式（MEP）。证明构造了任意非可约群的一个细胞自动机，该自动机具有GOE但无MEP，从而证明了迈尔的伊甸园定理的逆定理。该研究解决了塞奇尔尼-西尔贝施泰因、马奇和斯卡巴蒂长期存在的猜想，并回答了舒普关于迈尔定理成立的群类的问题。

ABSTRACT

We prove a converse to Myhill's "Garden-of-Eden" theorem and obtain in this manner a characterization of amenability in terms of cellular automata: "A group $G$ is amenable if and only if every cellular automaton with carrier $G$ that has gardens of Eden also has mutually erasable patterns." This answers a question by Schupp, and solves a conjecture by Ceccherini-Silberstein, Machì and Scarabotti. An appendix by Dawid Kielak proves that group rings without zero divisors are Ore domains precisely when the group is amenable, answering a conjecture attributed to Guba.

研究动机与目标

• 解决一个猜想：迈尔的伊甸园定理仅对可约群成立。
• 证明迈尔定理的逆定理：若一个群是非可约的，则存在一个具有伊甸园模式但无相互可擦除模式的细胞自动机。
• 通过细胞自动机中GOE与MEP之间的相互作用来刻画可约性。
• 建立群可约性与群环的代数性质之间的联系，特别是零因子的缺失。

提出的方法

• 在非可约群G上构造一个线性细胞自动机，使用域K上的群环K[G]中的矩阵，其中K为有限域。
• 利用自动机在有限支撑配置上单射性意味着无相互可擦除模式的事实。
• 通过证明在A^G = (K^2)^G中具有非平凡第二分量的配置不在像集中，来证明所构造的自动机具有伊甸园模式。
• 利用附录中基拉克建立的结论：群环K[G]中存在非平凡零因子当且仅当G是非可约的。
• 应用弗勒纳的可约性准则，证明非可约群存在在平移下不变性差的有限集合。
• 使用涉及伯努利测度的测度论论证，将测度不保持与伊甸园模式的存在性联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 迈尔的伊甸园定理是否对所有群成立，还是仅对某一类群成立？
• RQ2 群的可约性能否通过细胞自动机中伊甸园模式与相互可擦除模式之间的逻辑关系来刻画？
• RQ3 迈尔定理的逆命题是否成立：若一个群存在具有GOE但无MEP的细胞自动机，则其是否必然为非可约群？
• RQ4 群环K[G]的何种代数条件可确保其为Ore环，且这与可约性有何关联？
• RQ5 K[G]中零因子的缺失是否意味着G是可约群？

主要发现

• 一个群G是可约的，当且仅当其上每个具有伊甸园模式的细胞自动机也具有相互可擦除模式。
• 对每个非可约群G，都存在一个具有伊甸园模式但无相互可擦除模式的细胞自动机，从而证明了迈尔定理的逆命题。
• 若存在一个具有GOE但无MEP的细胞自动机，则该群必为非可约群。
• 群环K[G]无零因子当且仅当G是可约群，该结论由附录中的道维德·基拉克证明。
• 可约性与GOE和MEP性质的重合性在所有群中均成立，而不仅限于可约群。
• 细胞自动机保持伯努利测度当且仅当其无伊甸园模式，且这恰好在群为可约时成立。