[论文解读] Amenability of Hopf C^*-algebras

Chi–Keung Ng|ArXiv.org|Jun 8, 1999

Advanced Operator Algebra Research参考文献 11被引用 15

一句话总结

本文基於傅里葉代數 $A_S$，引入並研究了霍普夫 $C^*$-代數的三種等價定義的共阿梅nable性，推廣了局部緊群的阿梅nable性。在卡克斯-傅里葉對偶框架下，證明了一個對偶對象的共阿梅nable性等價於另一個對偶對象的阿梅nable性，並證明共阿梅nable性意味著對偶對象的核性，將經典結果推廣至量子群設定。

ABSTRACT

Three natural definitions for amenability of general Hopf C^*-algebras (all of them being generalizations of the case of locally compact groups) were given and the relations between them were studied. Moreover, amenability in the situation of duality of Hopf C^*-algebras was also studied.

研究动机与目标

• 透過群阿梅nable性準則的推廣，定義並研究霍普夫 $C^*$-代數的共阿梅nable性。
• 在霍普夫 $C^*$-代數的傅里葉對偶背景下，探討阿梅nable性與共阿梅nable性之間的對偶關係。
• 建立不同共阿梅nable條件（有界逼近單位、點分離、對偶空間同構）之間的等價性。
• 研究共阿梅nable性對對偶對象的核性與不變均值的影響。
• 將群阿梅nable性的經典結果推廣至非交換、非余交換的霍普夫 $C^*$-代數設定。

提出的方法

• 透過三種條件定義霍普夫 $C^*$-代數 $S$ 的共阿梅nable性：(a) $A_S$ 有有界逼近單位；(b) $A_S$ 分離點且 $S$ 是余單位元的；(c) $S^* \cong M(A_S)$。
• 以先前在 [12] 中定義的霍普夫 $C^*$-代數 $S$ 的傅里葉代數 $A_S$ 為核心對象，用以推廣群的阿梅nable性。
• 應用共變表示理論與不變均值理論，以特徵化對偶系統中的阿梅nable性。
• 利用內在對偶與表示理論，證明在卡克斯-傅里葉對偶框架 $(T,X,S)$ 下，$T$ 的共阿梅nable性與 $S$ 的阿梅nable性等價。
• 應用交叉積與核性的結果，證明若 $S$ 是阿梅nable的，則其約化對偶 $\hat{S}_p$ 是核性的。
• 利用卡克斯-傅里葉對偶的唯一性，證明在此情況下三種共阿梅nable條件完全一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 霍普夫 $C^*$-代數的三種共阿梅nable定義是否等價？
• RQ2 在傅里葉對偶框架下，霍普夫 $C^*$-代數的共阿梅nable性如何與其對偶的阿梅nable性相關？
• RQ3 能否以共阿梅nable性來特徵化 $A_S$ 上不變均值的存在性？
• RQ4 霍普夫 $C^*$-代數的共阿梅nable性是否意味其對偶的核性？
• RQ5 在卡克斯-傅里葉對偶設定下，$H_3$-共阿梅nable性是否等價於 $H_1$-與 $H_2$-共阿梅nable性？

主要发现

• 在卡克斯-傅里葉對偶設定下，三種共阿梅nable定義——$A_S$ 上的有界逼近單位、點分離與余單位元性、以及與 $M(A_S)$ 的對偶性——彼此等價。
• 在卡克斯-傅里葉對偶 $(T,X,S)$ 中，$T$ 是共阿梅nable的當且僅當 $S$ 是阿梅nable的，從而確立了阿梅nable性與共阿梅nable性之間的對偶關係。
• 若 $S$ 是阿梅nable的，則 $A_S$ 有右不變均值，將群論中的經典結果推廣至霍普夫 $C^*$-代數設定。
• 共阿梅nable性意味著 $T$ 是核 $C^*$-代數，此結果透過共阿梅nable條件的等價性與對偶的核性得以證明。
• 對於卡克斯-傅里葉對偶，$H_1$-、$H_2$-與 $H_3$-共阿梅nable性在 $T$ 上完全等價，推廣了群的情形。
• 當 $S$ 是阿梅nable時，其對偶對象 $\hat{S}_p$ 是核性的，此結果來自 $S$ 的阿梅nable性與交叉積的核性。