[论文解读] Amenable actions of discrete quantum groups on von Neumann algebras

Mohammad S. M. Moakhar|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2018

Advanced Operator Algebra Research参考文献 17被引用 6

一句话总结

本文引入了离散量子群作用于冯诺依曼代数时的齐默可约性（Zimmer amenability），将经典可约性概念推广至非交换设置。研究证明，一个作用是可约的当且仅当存在一个从 $ B(\ell^2(\mathbb{G})) \overline{\otimes} N $ 到交叉积 $ N \ltimes_\alpha \mathbb{G} $ 的等变条件期望，其应用涵盖泊松边界与卡克斯代数的对偶性。

ABSTRACT

We introduce the notion of Zimmer amenability for actions of discrete quantum groups on von Neumann algebras. We prove generalizations of several fundamental results of the theory in the noncommutative case. In particular, we give a characterization of Zimmer amenability of an action $α:\Bbb G\curvearrowright N$ in terms of $\hat{\Bbb{G}}$-injectivity of the von Neumann algebra crossed product $N\ltimes_α\Bbb G$. As an application we show that the actions of any discrete quantum group on its Poisson boundaries are always amenable.

研究动机与目标

• 将齐默可约性概念从经典群推广至作用于冯诺依曼代数的离散量子群。
• 建立以条件期望表征可约作用的非交换类比，推广德拉萨什（Delaroche）的经典结果。
• 证明离散量子群在其泊松边界上的作用总是可约的。
• 在 $ \mathcal{T}(\ell^2(\mathbb{G})) $-模范畴中，建立离散量子群的可约性与其对偶代数的内射性之间的对偶关系。
• 推广在卡克斯代数设定下，作用可约性与交叉积内射性之间等价性的结果。

提出的方法

• 通过存在一个满足 $ \Delta \otimes \mathrm{id} $-等变条件的条件期望 $ E_\alpha: \ell^\infty(\mathbb{G}) \overline{\otimes} N \to \alpha(N) $，定义离散量子群作用 $ \alpha: \mathbb{G} \curvearrowright N $ 的齐默可约性。
• 利用辫状张量积与对偶量子群 $ \hat{\mathbb{G}} $ 的诱导作用，构造等变条件期望。
• 建立作用可约性与从 $ B(\ell^2(\mathbb{G})) \overline{\otimes} N $ 到 $ N \ltimes_\alpha \mathbb{G} $ 的 $ \hat{\Delta}^{\mathrm{op}} \otimes \mathrm{id} $-等变条件期望存在的等价性。
• 证明在卡克斯代数情形下，等变条件可被省略，从而将表征简化为：从 $ B(\ell^2(\mathbb{G})) \overline{\otimes} N $ 到 $ N \ltimes_\alpha \mathbb{G} $ 的条件期望的存在性。
• 应用该表征方法，证明 $ \mathbb{G} $ 在其泊松边界 $ \mathcal{H}_\mu $ 上的自然作用总是可约的。
• 利用该框架，证明 $ N \ltimes_\alpha \mathbb{G} $ 是 $ \hat{\mathbb{G}} $-内射当且仅当 $ N $ 是内射且作用 $ \alpha $ 是可约的。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将齐默可约性的概念从局部紧群推广至作用于冯诺依曼代数的离散量子群？
• RQ2 以条件期望表征可约作用的非交换类比是什么？
• RQ3 离散量子群在其泊松边界上的作用是否总是可约的？
• RQ4 在卡克斯代数情形下，可约作用表征中的等变条件是否可以被消除？
• RQ5 离散量子群的可约性与其对偶代数在 $ \mathcal{T}(\ell^2(\mathbb{G})) $-模范畴中的内射性之间存在何种关系？

主要发现

• 作用 $ \alpha: \mathbb{G} \curvearrowright N $ 是可约的当且仅当存在一个 $ \hat{\Delta}^{\mathrm{op}} \otimes \mathrm{id} $-等变条件期望，从 $ B(\ell^2(\mathbb{G})) \overline{\otimes} N $ 射到 $ N \ltimes_\alpha \mathbb{G} $，从而建立了齐默结果的非交换类比。
• 任意离散量子群 $ \mathbb{G} $ 在其与状态 $ \mu \in \ell^1(\mathbb{G}) $ 关联的泊松边界 $ \mathcal{H}_\mu $ 上的自然作用总是可约的。
• 对于离散卡克斯代数 $ \mathbb{G} $，$ \mathbb{G} $ 的可约性等价于其在 $ L^\infty(\hat{\mathbb{G}}) $ 上的自然作用的可约性。
• $ N \ltimes_\alpha \mathbb{G} $ 是 $ \hat{\mathbb{G}} $-内射当且仅当 $ N $ 是内射且作用 $ \alpha $ 是可约的。
• 在 $ \mathbb{C} $ 上的平凡作用 $ \mathbb{G} $ 是可约的当且仅当 $ \mathbb{G} $ 是可约的，这给出了 $ \mathbb{G} $ 的可约性与 $ L^\infty(\hat{\mathbb{G}}) $ 在 $ \mathcal{T}(\ell^2(\mathbb{G})) $-模范畴中的内射性之间的对偶关系。
• 该结果推广了克朗与纽方（Crann and Neufang）在卡克斯代数情形下的对偶性结果，并将德拉萨什（Delaroche）推论 4.2 推广至非交换设置。