[论文解读] Amenable covers, volume and L2-Betti numbers of aspherical manifolds

Roman Sauer|ArXiv.org|May 23, 2006

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 19被引用 5

一句话总结

本文利用可测群论和 Gaboriau 的 $ρ$-单纯复形的 $L^2$-Betti 数理论，严格证明了关于殆球流形的 $L^2$-Betti 数与其体积之间猜想不等式的成立。在有界打包或 Ricci 曲率等几何约束下，建立了 $L^2$-Betti 数关于体积的统一上界，并证明了一个缺口定理：当最小体积足够小时，$L^2$-Betti 数全部为零。

ABSTRACT

We provide a proof for an inequality between volume and L2-Betti numbers of aspherical manifolds for which Gromov outlined a strategy based on general ideas of Connes. The implementation of that strategy involves measured equivalence relations, Gaboriau's theory of L2-Betti numbers of R-simplicial complexes, and other themes of measurable group theory. Further, we prove new vanishing theorems for L2-Betti numbers that generalize a classical result of Cheeger and Gromov. As one of the corollaries, we obtain a gap theorem which implies vanishing of L2-Betti numbers of an aspherical manifold when its minimal volume is sufficiently small.

研究动机与目标

• 严格证明 Gromov 基于 Connes 思想所提出的、关于殆球流形的体积与 $L^2$-Betti 数之间猜想不等式的严谨性。
• 将经典关于单纯体积与有界上同调的消去定理推广至 $L^2$-Betti 数的设定。
• 建立缺口定理，表明当殆球流形的最小体积足够小时，其 $L^2$-Betti 数全部为零。
• 发展并应用 $ρ$-空间与 $ρ$-覆盖的框架，以控制其万有覆盖的几何结构并界定 $L^2$-Betti 数。
• 将 $L^2$-Betti 数理论扩展至奇异叶状同调，并利用支撑质量估计冯诺依曼代数中的维数。

提出的方法

• 利用 Gaboriau 的 $ρ$-单纯复形的 $L^2$-Betti 数理论，分析殆球流形万有覆盖的几何结构。
• 应用 Ornstein-Weiss-Rokhlin 引理，构造具有受控重数的 $ρ$-覆盖，并估计覆盖的骨架中胞腔的数量。
• 利用奇异叶状同调定义并计算 $H_n^̼(X \times \widetilde{M})$ 中基本类的支撑质量。
• 利用与基本类的cap积，将 $L^2$-Betti 数与 $L(X,\Gamma)$-模上同调群的维数联系起来。
• 应用冯诺依曼代数的维数理论，特别是 $\dim_{L(\Gamma)}$ 的可加性与基于迹的计算方法。
• 使用 Alexander-Whitney 公式分解 cap积映射，并将核识别为支撑质量受控的子模。

实验结果

研究问题

• RQ1 在打包条件下，不等式 $b^{(2)}_i(\widetilde{M}) \leq \text{const}_{C,n} \cdot \text{vol}(M)$ 是否可对殆球流形严格成立？
• RQ2 殆球流形的最小体积是否控制其 $L^2$-Betti 数的消去？
• RQ3 能否利用可测群论将经典关于单纯体积的消去定理推广至 $L^2$-Betti 数？
• RQ4 如何利用 $\mathscr{H}_n(X \times \widetilde{M})$ 中基本类的支撑质量来界定 $L^2$-Betti 数？
• RQ5 曲率约束（如 Ricci 曲率）与 $L^2$-Betti 数增长之间的精确关系为何？

主要发现

• 对任意 $n \in \mathbb{N}$，存在常数 $\text{const}_{n} > 0$，使得若 $M$ 是满足 $\operatorname{Ricci}(M) \geq -(n-1)$ 的 $n$-维紧致殆球流形，则对所有 $i \geq 0$，有 $b^{(2)}_i(\widetilde{M}) \leq \text{const}_{n} \cdot \text{vol}(M)$ 成立。
• 在打包条件下，不等式 $b^{(2)}_i(\widetilde{M}) \leq \text{const}_{C,n} \cdot \text{vol}(M)$ 成立：即对任意 $0 < r < 1$，半径为 1 的球内至多包含 $C r^{-n}$ 个半径为 $r$ 的不相交球。
• 建立了缺口定理：若 $\operatorname{minvol}(M)$ 足够小，则对所有 $i \geq 0$，有 $b^{(2)}_i(\widetilde{M}) = 0$。
• 基本类 $[M]$ 在 $\mathscr{H}_n(X \times \widetilde{M})$ 中的支撑质量，通过 $L(X,\Gamma)$-模上的维数估计，控制了 $L^2$-Betti 数。
• $L^2$-Betti 数 $b^{(2)}_{n-j}(\widetilde{M})$ 的上界由基本类代表循环中函数支撑测度之和给出。
• 证明依赖于求值映射 $ev_j$ 的核包含于与基本类的 cap 积的核中，从而可通过支撑质量实现维数估计。