[论文解读] Amenable semigroups of nonexpansive mappings on weakly compact convex sets

Andrzej Wiśnicki|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2016

Optimization and Variational Analysis参考文献 9被引用 6

一句话总结

本文建立了左可约半拓扑半群在巴拿赫空间弱紧凸子集上作用的不动点定理，表明在 $WAP(S)$、$LUC(S)$ 或 $WAP(S) \bigcap LUC(S)$ 上存在左不变均值的条件，恰好刻画了非扩张映射的不动点性质。该工作正面回答了文献 [11] 中的问题 4，并将许氏关于左可逆离散半群的不动点定理，推广至巴拿赫空间中左可约半拓扑半群的情形。

ABSTRACT

We show a few fixed point theorems for semigroups acting on weakly compact convex subsets of Banach spaces when $LUC(S), AP(S), WAP(S)$ or $WAP(S)\cap LUC(S)$ have a left invariant mean. In particular, we give a characterization of semitopological semigroups that have a left invariant mean on the space of weakly almost periodic functions in terms of a fixed point property for nonexpansive mappings. It answers, in the case of Banach spaces, Question 4 of [A.T.-M. Lau, Y. Zhang, J. Funct. Anal. 263 (2012), 2949--2977] in affirmative. We also extend the fixed point theorem of R. Hsu from left reversible discrete semigroups to left amenable semitopological semigroups in Banach spaces.

研究动机与目标

• 通过巴拿赫空间中非扩张映射的不动点性质，刻画在 $WAP(S)$ 上存在左不变均值的半拓扑半群。
• 消除以往在 $WAP(S)$ 和 $LUC(S)$ 上作用于弱紧凸集时，对半群可分性的假设要求。
• 将许氏不动点定理从左可逆离散半群推广至巴拿赫空间中弱紧凸集上的左可约半拓扑半群。
• 以非扩张半群作用的不动点性质为框架，对 $AP(S)$、$WAP(S)$、$LUC(S)$ 以及 $WAP(S) \cap LUC(S)$ 上左不变均值的存在性给出完整刻画。
• 将不动点结果推广至具有 Radon-Nikodym 性质的对偶巴拿赫空间的弱*紧凸子集，作为未来工作的方向。

提出的方法

• 利用有界函数子空间 $AP(S)$、$WAP(S)$、$LUC(S)$ 及其交集上的左不变均值（LIMs）概念。
• 应用弱紧凸集上弱分别连续、非扩张且弱拟一致连续作用的不动点性质 $(F)$。
• 利用 $AP(S)$、$WAP(S)$ 和 $LUC(S)$ 的内蕴性（introversion property），确保平移作用下的轨道闭包仍保留在函数空间中。
• 运用 Mazur 引理推导弱序列收敛性，并通过反证法证明轨道闭包上作用的弱连续性。
• 应用定理 3.6，该定理将合适子空间 $X \subset \ell^\infty(S)$ 上左不变均值的存在性，与 $K$ 中公共不动点的存在性相联系。
• 依赖于作用的联合弱连续性与非扩张性，确保轨道函数 $f_y(s) = \|T_s x - x\|$ 属于 $LUC(S)$ 与 $WAP(S)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不假设可分性的前提下，$WAP(S)$ 上左不变均值的存在性是否恰好刻画了巴拿赫空间中弱紧凸集上非扩张半群作用的不动点性质？
• RQ2 许氏针对左可逆离散半群的不动点定理，能否推广至作用于弱紧凸集的左可约半拓扑半群？
• RQ3 $LUC(S)$ 或 $WAP(S) \cap LUC(S)$ 上左不变均值的存在性与非扩张半群作用的不动点性质之间存在何种关系？
• RQ4 非扩张作用的不动点性质与巴拿赫空间中弱紧凸集的正规结构之间有何关联？
• RQ5 对 $AP(S)$、$WAP(S)$ 与 $LUC(S)$ 的不动点结果，能在多大程度上推广至对偶巴拿赫空间的弱*紧凸集上？

主要发现

• 本文通过非扩张、分别连续作用在巴拿赫空间弱紧凸子集上的不动点性质 $(D)$，对 $WAP(S)$ 上左不变均值的存在性给出了完整刻画，正面回答了文献 [11] 中的问题 4。
• 在不假设半群或集合 $K$ 可分的前提下，建立了 $LUC(S)$ 与 $WAP(S) \cap LUC(S)$ 的不动点性质，推广了以往依赖可分性的结果。
• 将许氏不动点定理从左可逆离散半群推广至左可约半拓扑半群，表明此类半群在非扩张、分别连续作用下，于弱紧凸集中具有公共不动点。
• 证明了 $AP(S)$ 的不动点性质 $(E)$ 与 $AP(S)$ 上左不变均值的存在性等价，且该性质蕴含弱紧凸集中的正规结构。
• 证明了半群在轨道闭包上的作用是弱拟一致连续的，这对应用不动点性质 $(F)$ 及确保极限映射的弱连续性至关重要。
• 结果被推广至具有 Radon-Nikodym 性质的对偶巴拿赫空间，表明该框架在弱*紧凸集上具有更广泛的应用潜力。