[论文解读] Amoeba Formulation of Non-Bloch Band Theory in Arbitrary Dimensions

Hongyi Wang, Fei Song+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2022

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 51被引用 14

一句话总结

本文提出了一种基于变形虫（amoeba）的公式，将非布洛赫能带理论和非厄米体效应推广至任意空间维度，利用代数几何定义广义布里渊区（GBZ），并精确计算能谱和本征态分布，避免有限尺寸误差。该方法为高维非厄米系统提供了严谨且普适的框架，可实现对态密度和超越一维的拓扑不变量的精确计算。

ABSTRACT

The non-Hermitian skin effect dramatically reshapes the energy bands of non-Hermitian systems, meaning that the usual Bloch band theory is fundamentally inadequate as their characterization. The non-Bloch band theory, in which the concept of Brillouin zone is generalized, has been widely applied to investigate non-Hermitian systems in one spatial dimension. However, its generalization to higher dimensions has been challenging. Here, we develop a formulation of the non-Hermitian skin effect and non-Bloch band theory in arbitrary spatial dimensions, which is based on a natural geometrical object known as the amoeba. Our theory provides a general framework for studying non-Hermitian bands beyond one dimension. Key quantities of non-Hermitian bands, including the energy spectrum, eigenstates profiles, and the generalized Brillouin zone, can be efficiently obtained from this approach.

研究动机与目标

• 为克服非布洛赫能带理论此前仅限于一维系统的根本局限，将其推广至任意空间维度。
• 提供一种严谨、基于几何的高维广义布里渊区（GBZ）确定方法，此前因数学不可解性而难以实现。
• 在热力学极限下实现对开放边界条件（OBC）能谱和态密度（DOS）的精确计算，避免有限尺寸误差。
• 利用变形虫和罗金函数建立研究高维非厄米拓扑相的普适框架。
• 通过证明在一般边界几何下OBC谱收敛至普适谱，解决几何依赖的非厄米体效应挑战。

提出的方法

• 理论基于洛朗多项式变形虫的数学概念，通过对数变换将复动量空间映射至实空间，从而表征谱性质。
• 利用变形虫的罗金函数计算热力学极限下的态密度（DOS），并以严格定理证明该方法的有效性。
• 广义布里渊区（GBZ）被定义为变形虫的边界，为一维GBZ提供自然的高维推广。
• 该方法借助托普利茨矩阵理论和谢戈极限定理，将哈密顿量对数的迹与符号的积分联系起来，实现渐近谱计算。
• 引入同伦路径以定义符号的矩阵对数，确保迹公式中对数项的良定义性和拓扑一致性。
• 通过在变形虫上对积分公式直接计算热力学极限，绕过大型哈密顿量矩阵的直接对角化，从而避免有限尺寸效应。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在二维及更高维空间中严格定义并计算广义布里渊区（GBZ）？
• RQ2 能否在热力学极限下精确计算非厄米系统的开放边界条件（OBC）能谱，而无需有限尺寸修正？
• RQ3 尽管存在几何依赖的体效应，OBC在一般边界几何下是否仍收敛至普适谱？
• RQ4 如何利用几何与代数工具将非布洛赫能带拓扑推广至一维以上？
• RQ5 变形虫与罗金函数在表征任意维度下非厄米体效应和谱密度方面发挥何种作用？

主要发现

• 变形虫为在任意维度下定义广义布里渊区（GBZ）提供了自然的几何框架，推广了一维GBZ的构造方法。
• 通过变形虫的罗金函数精确计算了热力学极限下的态密度（DOS），并有严格的数学定理支持该方法。
• 在一般边界几何下，OBC谱收敛至普适谱，即使体效应依赖于系统形状。
• 该方法可精确计算OBC能谱和本征态局域化分布，无需对大型哈密顿量矩阵进行对角化。
• 该理论通过定义支持可预测边界模的拓扑不变量的GBZ，为高维非布洛赫能带拓扑奠定了基础。
• 该方法将一维非布洛赫能带理论推广至任意维度，解决了高维非厄米系统长期存在的难题。