[论文解读] Ample families, multihomogeneous spectra, and algebraization of formal schemes

Holger Brenner, Stefan Schroeer|ArXiv.org|Dec 11, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用 8

一句话总结

本文引入了关于有限型阿贝尔群分次环的多重齐次谱，推广了经典的 Proj 构造。它证明了除子性概形——即存在一个足够大的可逆层族的概形——可嵌入此类谱中，并建立了广义的格罗滕迪克代数化定理：若一个正规形式概形的闭纤维上存在一个满足局部上同调条件的足够大的形式可逆层族，则该形式概形可代数化。

ABSTRACT

Generalizing homogeneous spectra for rings graded by natural numbers, we introduce multihomogeneous spectra for rings graded by abelian groups. Such homogeneous spectra have the same completeness properties as their classical counterparts, but are possibly nonseparated. We relate them to ample families of invertible sheaves and simplicial toric varieties. As an application, we generalize Grothendieck's Algebraization Theorem and show that formal schemes with certain ample families are algebraizable.

研究动机与目标

• 将经典的 Proj 构造从 N-分次环推广到有限型阿贝尔群分次环，引入多重齐次谱。
• 通过足够大的可逆层族，将除子性概形表征为可嵌入多重齐次谱的概形。
• 通过将放大性条件弱化为闭纤维上具有适当局部上同调控制的形式可逆层族，推广格罗滕迪克的形式概形代数化定理。
• 将多重齐次谱与单纯复锥面概形及考克斯的齐次坐标环联系起来。
• 为多重分次情形提供上同调与几何的放大性准则，将格劳尔特与塞尔的准则推广至多重分次设置。

提出的方法

• 将多重齐次谱定义为仿射开集 $ D_+(f) = \operatorname{Spec}(S_{(f)}) $ 的并集，其中 $ f $ 为齐次元素且具有足够多的齐次除子。
• 使用多指标记号 $ \mathcal{L}^d = \mathcal{L}_1^{d_1} \otimes \cdots \otimes \mathcal{L}_r^{d_r} $（$ d \in \mathbb{N}^r $）来定义全局截面的多重分次环。
• 证明多重齐次谱是普遍闭的，且其交集为仿射的，尽管它们可能不是分离的。
• 证明一个概形是除子性的充分必要条件是它可闭嵌入某个多重齐次谱 $ \operatorname{Proj}(S) $，其中 $ S = \bigoplus_{d \in \mathbb{N}^r} \Gamma(X, \mathcal{L}^d) $。
• 应用上同调准则：若对所有 $ d \in \mathbb{N}^r $，当 $ d \gg 0 $ 时有 $ H^1(X, \mathcal{L}^{-d}) = 0 $，则存在足够大的可逆层族，从而推广了塞尔的准则。
• 通过在 $ \mathcal{I}^n \mathcal{K}^m / \mathcal{I}^{n+1} \mathcal{K}^m $ 上的 $ H^1 $ 范性，将截面从闭纤维上提升，确保其兼容地嵌入到 $ \operatorname{Proj}(S) $ 中。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典的 Proj 构造能否推广到有限型阿贝尔群分次环？此类谱的几何性质是什么？
• RQ2 一个可逆层族需满足何种条件，才能使概形为除子性？该条件能否通过上同调或仿射包来表征？
• RQ3 当闭纤维上存在一个足够大的可逆层族而非单个足够大的线丛时，何种条件下一个正规形式概形是可代数化的？
• RQ4 多重齐次谱与单纯复锥面概形及考克斯的齐次坐标环有何关系？
• RQ5 格罗滕迪克的代数化定理能否推广到具有足够大形式线丛族的形式概形上，且该族在闭纤维上满足局部放大性条件？

主要发现

• 对于 $ \mathbb{Z}^r $-分次环的多重齐次谱，其为普遍闭的，且交集为仿射的，但未必是分离的。
• 一个概形是除子性的充分必要条件是它可闭嵌入某个多重齐次谱 $ \operatorname{Proj}(S) $，其中 $ S $ 是某个足够大可逆层族的全局截面的多重分次环。
• 作者推广了格劳尔特的准则：存在足够大的可逆层族当且仅当概形是拟紧、拟分离，且集合 $ X_f $（$ f \in \Gamma(X, \mathcal{L}^d) $，$ d \in \mathbb{N}^r $）构成拓扑的一个基。
• 建立了上同调准则：存在足够大的可逆层族当且仅当对所有 $ d \in \mathbb{N}^r $，当 $ d \gg 0 $ 时有 $ H^1(X, \mathcal{L}^{-d}) = 0 $，从而推广了塞尔的准则。
• 主要代数化结果表明：若对每个闭点，存在一个凝聚子模 $ \mathcal{K} \subset \mathcal{L}^d $，使得 $ \mathcal{O}_{P_0}(1) $ 在 $ \operatorname{Proj}(\bigoplus_{m \geq 0} \mathcal{K}^m / \mathcal{I} \mathcal{K}^m) $ 上是足够大的，则正规形式概形 $ \mathfrak{X} \to \operatorname{Spf}(R) $ 是可代数化的。
• 定理 6.1 中的条件意味着该族在闭纤维上的限制是足够大的，且该结果将格罗滕迪克定理从单个足够大的线丛的情形推广到了更一般的情形。