[论文解读] Ample Group Action on AS-regular Algebras and Noncommutative Graded Isolated Singularities

Izuru Mori, Kenta Ueyama|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文引入了 AS-正则代数上丰满群作用的概念，并建立了固定子代数 $ S^G $ 的分次模的导出范畴与斜群代数 $ S*G $ 的 Beilinson 代数的模的导出范畴之间的导出等价性。证明了对于维数 $ \geq 2 $ 的诺特 AS-正则代数 $ S $，若群 $ G $ 是丰满的且其所有元素的同调行列式为 1，则有 $ \mathcal{D}^b(\operatorname{tails} S^G) \cong \mathcal{D}^b(\operatorname{mod} \nabla S*G) $，从而推广了非交换 McKay 对应关系。

ABSTRACT

In this paper, we introduce a notion of ampleness of a group action $G$ on a right noetherian graded algebra $A$, and show that it is strongly related to the notion of $A^G$ to be a graded isolated singularity introduced by the second author of this paper. Moreover, if $S$ is a noetherian AS-regular algebra and $G$ is a finite ample group acting on $S$, then we will show that ${\mathcal D}^b(\operatorname{tails} S^G)\cong {\cal D}^b(\operatorname{mod} abla S*G)$ where $ abla S$ is the Beilinson algebra of $S$. We will also explicitly calculate a quiver $Q_{S, G}$ such that ${\mathcal D}^b(\operatorname{tails} S^G)\cong {\mathcal D}^b(\operatorname{mod} kQ_{S, G})$ when $S$ is of dimension 2.

研究动机与目标

• 定义并研究 AS-正则代数上丰满群作用的概念。
• 对于丰满作用，建立 $ \mathcal{D}^b(\operatorname{tails} S^G) $ 与 $ \mathcal{D}^b(\operatorname{mod} \nabla S*G) $ 之间的导出等价性。
• 通过群作用的丰满性刻画固定子代数 $ S^G $ 为分次孤立奇点的条件。
• 显式计算一个 quiver $ Q_{S,G} $，使得在二维情形下有 $ \mathcal{D}^b(\operatorname{tails} S^G) \cong \mathcal{D}^b(\operatorname{mod} kQ_{S,G}) $。

提出的方法

• 为右诺特分次代数 $ A $ 上的有限群作用 $ G $ 引入丰满性的概念。
• 利用同调行列式条件（$ G $ 的所有元素行列式为 1）将丰满性与 $ S^G $ 为分次孤立奇点联系起来。
• 证明 $ S*G $ 是 $ kG $ 上的诺特 AS-正则代数，从而可使用 Beilinson 代数。
• 构造 $ S $ 的 Beilinson 代数 $ \nabla S $，并在丰满性条件下证明 $ \mathcal{D}^b(\operatorname{tails} S^G) \cong \mathcal{D}^b(\operatorname{mod} \nabla S*G) $。
• 在二维情形下，通过 BGP 反射与导出等价性技术显式计算 quiver $ Q_{S,G} $。
• 应用非交换代数几何与导出范畴的成果，统一此前的特殊情况（Veronese 代数与多项式不变量）。

实验结果

研究问题

• RQ1 何时一个有限群作用 $ G $ 在 AS-正则代数 $ S $ 上是丰满的，且这与 $ S^G $ 为分次孤立奇点有何关系？
• RQ2 在何种条件下，导出范畴 $ \mathcal{D}^b(\operatorname{tails} S^G) $ 同构于 $ \mathcal{D}^b(\operatorname{mod} \nabla S*G) $？
• RQ3 在二维情形下，$ \operatorname{tails} S^G $ 的导出范畴能否被实现为某个 quiver 代数的模的导出范畴？
• RQ4 丰满性条件如何在非交换代数几何中推广经典 McKay 对应关系？

主要发现

• 对于维数 $ d \geq 2 $ 的诺特 AS-正则代数 $ S $，群 $ G $ 是丰满的当且仅当 $ S^G $ 是分次孤立奇点且 $ S*G \cong \operatorname{End}_{S^G}(S) $。
• 若 $ S $ 是 AS-正则代数且 $ G $ 是有限群，且其所有元素的同调行列式为 1，则 $ S*G $ 是 $ kG $ 上的诺特 AS-正则代数。
• 当 $ G $ 是丰满时，导出范畴 $ \mathcal{D}^b(\operatorname{tails} S^G) $ 与 $ \mathcal{D}^b(\operatorname{mod} \nabla S*G) $ 导出等价。
• 在二维情形下，若 $ S \not\cong k\langle x,y\rangle/(xy \pm yx) $，则所有同调行列式为 1 的有限群 $ G $ 对 $ S $ 都是丰满的。
• 对于此类 $ S $ 与 $ G $，显式构造出一个 quiver $ Q_{S,G} $，使得 $ \mathcal{D}^b(\operatorname{tails} S^G) \cong \mathcal{D}^b(\operatorname{mod} kQ_{S,G}) $。
• 该导出等价性同时推广了 Veronese 情形与多项式不变量情形，统一了非交换 McKay 对应关系中的先前结果。