[论文解读] Ample groupoids: equivalence, homology, and Matui's HK conjecture

Carla Farsi, Alex Kumjian+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2018

Advanced Operator Algebra Research参考文献 29被引用 26

一句话总结

本文证明了对于单位空间σ-紧致的完备Hausdorff广群，多种广群等价概念一致，并证明它们保持同调。计算了ℕᵏ作用于零维空间时产生的Deaconu–Renault广群的同调，并通过基于邻接矩阵构造的链复形，验证了当k=1或2时，以及在联合互质条件下对单顶点k-图广群，Matui的HK猜想成立。

ABSTRACT

We investigate the homology of ample Hausdorff groupoids. We establish that a number of notions of equivalence of groupoids appearing in the literature coincide for ample Hausdorff groupoids, and deduce that they all preserve groupoid homology. We compute the homology of a Deaconu{Renault groupoid associated to k pairwisecommuting local homeomorphisms of a zero-dimensional space, and show that Matui's HK conjecture holds for such a groupoid when k is one or two. We specialise to k-graph groupoids, and show that their homology can be computed in terms of the adjacency matrices, using a chain complex developed by Evans. We show that Matui's HK conjecture holds for the groupoids of single vertex k-graphs which satisfy a mild joint-coprimality condition. We also prove that there is a natural homomorphism from the categorical homology of a k-graph to the homology of its groupoid.

研究动机与目标

• 统一并澄清文献中关于完备Hausdorff广群的多种广群等价概念。
• 建立这些等价概念在完备Hausdorff设定下保持广群同调的性质。
• 计算ℕᵏ作用于零维空间时产生的Deaconu–Renault广群的同调。
• 在k=1或k=2时，验证Deaconu–Renault广群的Matui HK猜想。
• 在联合互质条件下，将Matui HK猜想的验证扩展至单顶点k-图广群。

提出的方法

• 定义一个链复形 $ A^{ au} $，其中n-链位于 $ \bigwedge^n\mathbb{Z}^k \otimes C_c(X,\mathbb{Z}) $ 中，利用紧开集上的前向映射 $ \sigma^n_* $。
• 证明Deaconu–Renault广群 $ \mathcal{G}(X,\sigma) $ 的同调与链复形 $ A^\sigma_* $ 的同调同构。
• 利用Kasparov的谱序列和Takai对偶性，将 $ \mathcal{G}(X,\sigma) $ 的同调与 $ \mathbb{Z}^k $ 以 $ K_0(C^*(\mathcal{G}(X,\sigma) \times_c \mathbb{Z}^k)) $ 为系数的同调联系起来。
• 应用Matui的Künneth定理，计算积广群 $ \mathcal{G}_\Lambda \cong \mathcal{G} \times \mathcal{H} $ 的同调，将问题约化为张量积和Tor积。
• 使用归纳法以及 $ \mathbb{Z}_m \otimes \mathbb{Z}_n \cong \mathbb{Z}_{\gcd(m,n)} $ 和 $ \operatorname{Tor}(\mathbb{Z}_m, \mathbb{Z}_n) \cong \mathbb{Z}_{\gcd(m,n)} $ 的性质来计算同调群。
• 从Evan的复形构造谱序列，将 $ C^*(\Lambda) $ 的 $ K_* $-理论与 $ \mathcal{G}_\Lambda $ 的同调联系起来，证明当 $ \gcd(N_1,\dots,N_k) = 1 $ 时谱序列收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于单位空间σ-紧致的完备Hausdorff广群，各种广群等价概念——Morita、相似性、Kakutani、Renault等价——是否一致？
• RQ2 在完备Hausdorff广群设定下，广群等价是否保持同调？
• RQ3 能否显式计算ℕᵏ作用于零维空间时产生的Deaconu–Renault广群的同调？
• RQ4 当k=1或k=2时，Matui的HK猜想是否对Deaconu–Renault广群成立？
• RQ5 在何种条件下，Matui的HK猜想对单顶点k-图广群成立？

主要发现

• 对于单位空间σ-compact的完备Hausdorff广群，所有标准广群等价概念（Morita、相似性、Kakutani、Renault）一致。
• 广群等价在完备Hausdorff广群中保持同调，该结论通过Crainic–Moerdijk的结果和Matui的同构定理建立。
• Deaconu–Renault广群 $ \mathcal{G}(X,\sigma) $ 的同调与链复形 $ A^\sigma_* $ 的同调存在自然同构。
• 当k=1或k=2时，Matui的HK猜想对ℕᵏ作用于零维空间的Deaconu–Renault广群成立。
• 对于满足联合互质条件的单顶点k-图广群，其同调满足 $ H_n(\mathcal{G}_\Lambda) \cong (\mathbb{Z}_{\gcd(N_1,\dots,N_k)})^{\binom{k-1}{n}} $（当 $ 0 \leq n \leq k-1 $ 时），其余情况为零。
• 当 $ \gcd(|\Lambda^{e_1}|-1, \dots, |\Lambda^{e_k}|-1) = 1 $ 时，$ K_*(C^*(\Lambda)) $ 与 $ H_*(\mathcal{G}_\Lambda) $ 均为零，若 $ C^*(\Lambda) $ 是单的，则其同构于 $ \mathcal{O}_2 $。