[论文解读] An abstract approach to Glivenko's theorem

Darllan Conceição Pinto, Hugo Luiz Mariano|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2016

Advanced Algebra and Logic参考文献 4被引用 7

一句话总结

本文利用范畴理论对格利文科定理提出一种抽象表述，通过格利文科上下文在代数可化逻辑与林登鲍姆可化逻辑之间建立保守翻译。证明了每个格利文科上下文均诱导一个范畴同态，将经典格利文科定理从经典逻辑推广至直觉逻辑作为特例。

ABSTRACT

The aim of this work is to provide a special kind of conservative translation between abstract logics, namely an extit{abstract Glivenko's theorem}. Firstly we define institutions on the categories of logic, algebraizable logics, and Lindenbaum algebraizable logic. In the sequel, we introduce the notion os Glivenko's context relating two algebraizable logics (respectively, Lindenbaum algebraizable logics) and we prove that for each Glivenko's context can be associated an institutions morphism between the corresponding logical institutions. As a consequence of the existence of such institutions morphisms, we have established abstract versions of Glivenko's theorem between those algebraizable logics (Lindenbaum algebraizable logics), generalizing the results presented in \cite{To}. In particular, considering the institutions of classical logic and of intuitionistic logic, we build a Glivenko's context and thus an abstract Glivenko's theorem that is exactly the traditional Glivenko's theorem. Finally we present a category of algebraizable logic with Glivenko's context as morphisms. We can interpret the results of this work as an evidence of the (virtually unexplored) relevance of institution theory in the study of propositional logic.

研究动机与目标

• 通过范畴理论抽象格利文科定理的结构特性，将格利文科定理从经典逻辑推广至更广泛的逻辑体系。
• 通过格利文科上下文的概念，形式化代数可化逻辑之间的保守翻译机制。
• 证明此类格利文科上下文可诱导范畴同态，从而将抽象逻辑范畴与模型论一致性联系起来。
• 构建一个代数可化逻辑的范畴，其中格利文科上下文作为态射，实现对逻辑翻译的范畴论推理。
• 证明经典格利文科定理作为该抽象框架在经典逻辑与直觉逻辑上的特例自然成立。

提出的方法

• 定义抽象逻辑、代数可化逻辑与林登鲍姆代数可化逻辑的范畴，将逻辑系统形式化为带有满足关系的数学对象。
• 在两个代数可化逻辑之间引入格利文科上下文的概念，即满足其滤子格与翻译之间特定一致性条件的二元组 (h: a → a', ρ)。
• 证明每个格利文科上下文均在相应逻辑范畴之间诱导出一个定义良好的范畴同态，保持满足关系与记号一致性。
• 构建一个以格利文科上下文为态射的范畴 $ G ext{Alg}_f $，并证明其恒等态射与复合运算均具有良好性质。
• 利用同构 $ \varepsilon_a $ 定义从 $ G ext{Alg}_f $ 到范畴论中范畴的函子，实现对逻辑性质的系统性翻译。
• 证明经典格利文科定理（即通过双重否定将经典逻辑公式翻译至直觉逻辑）可作为该抽象框架的具体系例被恢复。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用抽象代数逻辑将格利文科定理推广至经典逻辑与直觉逻辑之外的系统？
• RQ2 代数可化逻辑之间保守翻译的范畴结构是什么？其形式化方式为何？
• RQ3 范畴理论能否作为统一框架，通过格利文科上下文诱导的态射来表示与关联不同逻辑系统？
• RQ4 滤子格及其态射在定义格利文科上下文的一致性条件中起何种作用？
• RQ5 该抽象格利文科构造如何作为特例自然恢复经典格利文科定理？

主要发现

• 每个代数可化逻辑之间的格利文科上下文均诱导一个定义良好的范畴同态，确保逻辑满足关系与翻译之间的一致性。
• 以格利文科上下文为态射的范畴 $ G ext{Alg}_f $ 的构造是有效的，其恒等态射与结合律已得证明。
• 经典格利文科定理（即通过双重否定将经典逻辑公式翻译至直觉逻辑）作为该抽象框架的特例被成功恢复。
• 对每个同构 $ \varepsilon_a $ 的选择，函子 $ \mathcal{G}_\varepsilon $ 将 $ G ext{Alg}_f $ 映射至范畴论中范畴，保持结构关系。
• 该构造同样适用于林登鲍姆代数可化逻辑，从而导出子范畴 $ G ext{Alg}^c_f $ 及其对应函子至林登鲍姆代数可化逻辑的范畴。
• 该框架暗示范畴理论与抽象代数逻辑之间存在更深层次的联系，且可进一步推广至 $ \pi $-范畴及与滤子范畴的伴随关系。