[论文解读] An abstract approach to Loewner chains

Leandro Arosio, Filippo Bracci+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2010

Analytic and geometric function theory参考文献 22被引用 7

一句话总结

本文提出了一种在完备双曲复流形上构造Loewner链的新几何方法，避免了极限过程，建立了$L^d$-演化族与$L^d$-Loewner链之间的直接一一对应关系。主要贡献在于通过Loewner链表征单位球$mathbb{B}^n$上的单芽映射，证明了螺旋似性与星形似性恰好对应于由映射的指数缩放生成的$L^\infty$-Loewner链的存在性。

ABSTRACT

We present a new geometric construction of Loewner chains in one and several complex variables which holds on a complete hyperbolic complex manifold M and prove that there is essentially a one-to-one correspondence between evolution families of order d and Loewner chains of the same order. As a consequence we obtain a solution for any Loewner-Kufarev PDE, given by univalent mappings (f_t) from M to a complex manifold N. The problem of finding solutions given by univalent mappings with range in C^n is reduced to investigating whether the union of the images f_t(M) is biholomorphic to a domain in C^n. We apply such results to the study of univalent mappings from the unit ball B^n to C^n.

研究动机与目标

• 开发一种在完备双曲复流形上构造Loewner链的新几何方法，避免使用极限过程。
• 在一般复流形上，建立$L^d$-演化族与$L^d$-Loewner链之间的直接一一对应关系，将经典Loewner理论推广至单位圆盘之外。
• 通过存在由指数缩放生成的$L^\infty$-Loewner链，表征单位球$\mathbb{B}^n$上的单芽映射。
• 将寻找Loewner-Kufarev PDE的单芽解的问题转化为判断像的并集是否双全纯同构于$\mathbb{C}^n$中的一个区域。

提出的方法

• 将$L^d$-演化族定义为满足演化性质$\varphi_{s,t} = \varphi_{u,t} \circ \varphi_{s,u}$且在时间上具有$L^d_{\text{loc}}$正则性的全纯映射族。
• 引入$L^d$-Herglotz向量场作为满足$L^d_{\text{loc}}$有界性且几乎处处时间下具有半完备性的弱全纯向量场。
• 通过函数方程$f_s = f_t \circ \varphi_{s,t}$，在不使用缩放极限的情况下，建立$L^d$-演化族与$L^d$-Loewner链之间的直接对应关系。
• 利用从演化族构造Loewner链的直接极限方法，避免经典极限过程，尤其在高维情形下。
• 通过分析线性算子$A$满足$m(A) > 0$时的链$f_t(z) = e^{tA}f(z)$，将理论应用于单位球$\mathbb{B}^n$。
• 通过涉及$f$的微分的解析不等式，证明螺旋似性与星形似性等价于$L^\infty$-Loewner链的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在完备双曲复流形上构造Loewner链而不依赖极限过程？
• RQ2 在一般复流形上，$L^d$-演化族与$L^d$-Loewner链之间是否存在直接的一一对应关系？
• RQ3 在$\mathbb{B}^n$上，何种条件可确保一个局部单芽映射是相对于线性算子$A$的螺旋形映射？
• RQ4 当像的并集双全纯同构于$\mathbb{C}^n$中的一个区域时，如何通过单芽映射求解Loewner-Kufarev PDE？
• RQ5 何种解析不等式可表征单位球$\mathbb{B}^n$上映射的螺旋似性与星形似性？

主要发现

• 在完备双曲复流形上，$L^d$-演化族与$L^d$-Loewner链之间存在直接的一一对应关系，避开了经典极限构造。
• $L^\infty$-Loewner链存在当且仅当局部单芽映射$f:\mathbb{B}^n \to \mathbb{C}^n$的族$f_t(z) = e^{tA}f(z)$满足$L^\infty$-有界性，且相关的向量场是半完备的。
• 局部单芽映射$f:\mathbb{B}^n \to \mathbb{C}^n$是相对于$A$的螺旋形映射，当且仅当对所有$z \in \mathbb{B}^n$，不等式$\operatorname{Re}\langle (df_z)^{-1}Af(z), z \rangle \geq (1 - \|z\|^2)\operatorname{Re}\langle (df_0)^{-1}Af(0), z \rangle$成立。
• 在$\mathbb{B}^n$上的星形似性等价于存在由$f_t(z) = e^t f(z)$生成的$L^\infty$-Loewner链，且存在相应的涉及$f(z)$及其微分的解析不等式。
• 该理论将Loewner-Kufarev PDE的可解性问题归约为$\bigcup_{t \geq 0} f_t(M)$是否双全纯同构于$\mathbb{C}^n$中的一个区域，为单芽性提供了几何判据。
• 该构造适用于单位球$\mathbb{B}^n$，给出了螺旋似性与星形似性的新解析表征，将经典结果推广至高维情形。