[论文解读] An Adaptive Finite Element DtN Method for Maxwell's Equations in Biperiodic Structures

Xue Jiang, Peijun Li+4 more|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2018

Electromagnetic Simulation and Numerical Methods参考文献 30被引用 4

一句话总结

本文提出了一种适用于三维双周期光栅结构中麦克斯韦方程组的自适应有限元方法，结合了狄利克雷到诺伊曼（DtN）透明边界条件。通过推导同时考虑有限元离散化误差与DtN算子截断误差的后验误差估计，该方法自适应地调整网格和截断参数，实现了准最优收敛率，并在计算效率和精度方面优于传统的基于完美匹配层（PML）的方法。

ABSTRACT

Consider the diffraction of an electromagnetic plane wave by a biperiodic structure where the wave propagation is governed by the three-dimensional Maxwell equations. Based on transparent boundary condition, the grating problem is formulated into a boundary value problem in a bounded domain. Using a duality argument technique, we derive an a posteriori error estimate for the finite element method with the truncation of the nonlocal Dirichlet-to-Neumann (DtN) boundary operator. The a posteriori error consists of both the finite element approximation error and the truncation error of boundary operator which decays exponentially with respect to the truncation parameter. An adaptive finite element algorithm is developed with error controlled by the a posterior error estimate, which determines the truncation parameter through the truncation error and adjusts the mesh through the finite element approximation error. Numerical experiments are presented to demonstrate the competitive behavior of the proposed adaptive method.

研究动机与目标

• 开发一种用于求解三维双周期光栅结构中时 harmonic 麦克斯韦方程组的自适应有限元方法。
• 解决在无界计算域中截断非局部DtN边界算子的挑战。
• 设计一种自适应算法，同时控制有限元误差与DtN截断误差。
• 提供一种替代PML方法的可行方案，具有更小的计算域尺寸和更高的效率。
• 通过数值实验验证该方法，展示其准最优收敛性与优异的性能表现。

提出的方法

• 问题通过在有界域中使用从DtN算子导出的透明边界条件，表述为一个边值问题。
• 利用参数$N$将非局部DtN算子截断为有限和，其截断误差随$N$指数衰减。
• 采用对偶论证技术，推导出一种可靠且高效的后验误差估计，综合考虑有限元误差与截断误差。
• 后验误差估计指导自适应加密：基于有限元误差进行网格加密，基于截断误差调整截断参数$N$。
• 自适应算法动态平衡两种误差分量，以实现最优收敛率。
• 使用纳多列克边有限元对矢量场进行旋度一致离散化，计算数值解。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为三维双周期麦克斯韦问题中的有限元与DtN截断误差的组合推导出后验误差估计？
• RQ2 如何同时控制自适应网格加密与自适应DtN截断，以实现最优收敛？
• RQ3 与自适应PML方法相比，该自适应DtN方法在精度与计算成本方面的表现如何？
• RQ4 该方法能否实现准最优收敛率$\|\mathbf{E} - \mathbf{E}_h^N\|_{H(\mathrm{curl},\Omega)} = O(N_k^{-1/3})$？
• RQ5 DtN方法是否可作为无界域中波传播问题的PML方法的可行替代方案？

主要发现

• 所提出的自适应DtN方法在自由度$N_k$方面实现了准最优收敛率$\|\mathbf{E} - \mathbf{E}_h^N\|_{H(\mathrm{curl},\Omega)} = O(N_k^{-1/3})$，数值实验已验证该结果。
• 后验误差估计$\eta_h$准确捕捉了真实误差，并有效指导了网格与截断参数的自适应调整。
• 在平面板算例中，自适应DtN方法在更少自由度和更小计算域下，达到了与自适应PML方法相当的精度。
• 在棋盘格光栅算例中，该方法成功捕捉了复杂的散射图案，且误差估计在自适应加密过程中始终保持可靠。
• DtN方法通过消除对人工PML层的需求，降低了计算成本，使计算域可更靠近散射体。
• 该方法在性能上与自适应PML方法具有竞争力，并提供了一种可行的替代方案，尤其在PML方法不适用的情况下更具优势。