[论文解读] An adaptive generalized multiscale discontinuous Galerkin method (GMsDGM) for high-contrast flow problems

Eric T. Chung, Yalchin Efendiev+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2014

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 21被引用 15

一句话总结

本文提出一种自适应广义多尺度间断伽辽金方法（GMsDGM），用于高对比度流问题，利用基于 $L_2$ 的后验误差估计器指导高效、目标导向的多尺度基函数富集。该方法实现了自适应富集算法的收敛性，并通过鲁棒且计算成本低廉的误差指标，在性能上优于均匀富集。

ABSTRACT

In this paper, we develop an adaptive Generalized Multiscale Discontinuous Galerkin Method (GMs-DGM) for a class of high-contrast flow problems, and derive a-priori and a-posteriori error estimates for the method. Based on the a-posteriori error estimator, we develop an adaptive enrichment algorithm for our GMsDGM and prove its convergence. The adaptive enrichment algorithm gives an automatic way to enrich the approximation space in regions where the solution requires more basis functions, which are shown to perform well compared with a uniform enrichment. We also discuss an approach that adaptively selects multiscale basis functions by correlating the residual to multiscale basis functions (cf. [4]). The proposed error indicators are L2-based and can be inexpensively computed which makes our approach efficient. Numerical results are presented that demonstrate the robustness of the proposed error indicators.

研究动机与目标

• 为高对比度流问题中的广义多尺度间断伽辽金方法（GMsDGM）开发一种自适应富集策略。
• 基于 $L_2$-范数误差指标，推导用于引导自适应富集的后验误差估计。
• 在所提出的误差指标下，证明自适应富集算法的收敛性。
• 通过选择与局部残差相关联的基函数，实现自动、局部化的富集，从而在非均质区域提升精度。

提出的方法

• 该方法采用内罚间断伽辽金弱形式作为粗网格求解器，实现粗网格单元边界处基函数的解耦。
• 在每个粗网格单元上利用细网格解构建快照空间，随后通过谱分解降低维度。
• 求解两个独立的谱问题：一个用于调和扩展，另一个用于在粗网格单元边界上取零的函数，以生成降维的离线空间。
• 推导基于 $L_2$-范数的后验误差估计器，其计算成本低廉，用于识别需要富集的区域。
• 自适应富集算法根据误差指标和残差相关性选择基函数，并具备移除低效基函数的机制。
• 通过能量误差界和基于谱衰减与稳定性估计导出的压缩性质，证明了自适应算法的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于 $L_2$ 的后验误差估计器能否有效用于指导 GMsDGM 在高对比度问题中的自适应富集？
• RQ2 所提出的自适应富集算法在 GMsDGM 框架下是否收敛？
• RQ3 在精度和效率方面，自适应富集与均匀富集相比表现如何？
• RQ4 能否基于基函数与局部残差的相关性实现自适应选择，且是否能提升解的精度？
• RQ5 谱分解在构建调和分量与边界为零分量的降维离线空间中起到何种作用？

主要发现

• 基于 $L_2$-范数误差指标的自适应富集算法可收敛，其收敛性通过能量范数下的压缩性质得到证明。
• 误差估计器计算成本低廉且有效，支持在高对比度区域实现高效且自动的富集。
• 该方法通过在解需要更高分辨率的区域集中基函数，实现了优于均匀富集的精度。
• 收敛速率由特征值的谱衰减决定，误差与首个未使用特征值成反比。
• 该算法可自适应地从调和扩展分量和边界为零分量中选择基函数，从而提升复杂区域的表示能力。
• 理论分析证实，在细网格误差可忽略的假设下，粗网格离散化引起的误差有界，并随自适应富集而减小。