[论文解读] An adaptive minimum spanning tree multi-element method for uncertainty quantification of smooth and discontinuous responses

Yous van Halder, Benjamin Sanderse+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2018

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 35被引用 3

一句话总结

本文提出一种自适应最小生成树多单元（MST-ME）方法用于不确定性量化，可自动处理光滑与不连续响应，且无需事先了解响应特性。通过结合基于最小生成树的自适应采样、基于支持向量机的不连续性检测以及在分解域上的最小正交插值，该方法在极少样本下实现高精度与高效率，避免吉布斯现象，并实现对复杂PDE和工程问题的鲁棒代理建模。

ABSTRACT

A novel approach for non-intrusive uncertainty propagation is proposed. Our approach overcomes the limitation of many traditional methods, such as generalised polynomial chaos methods, which may lack sufficient accuracy when the quantity of interest depends discontinuously on the input parameters. As a remedy we propose an adaptive sampling algorithm based on minimum spanning trees combined with a domain decomposition method based on support vector machines. The minimum spanning tree determines new sample locations based on both the probability density of the input parameters and the gradient in the quantity of interest. The support vector machine efficiently decomposes the random space in multiple elements, avoiding the appearance of Gibbs phenomena near discontinuities. On each element, local approximations are constructed by means of least orthogonal interpolation, in order to produce stable interpolation on the unstructured sample set. The resulting minimum spanning tree multi-element method does not require initial knowledge of the behaviour of the quantity of interest and automatically detects whether discontinuities are present. We present several numerical examples that demonstrate accuracy, efficiency and generality of the method.

研究动机与目标

• 开发一种非侵入式不确定性量化方法，可有效处理光滑与不连续的输出量，且无需事先了解响应行为特征。
• 克服广义多项式混沌与随机配置方法的局限性，特别是不连续区域附近的吉布斯现象。
• 通过利用输入参数概率密度与梯度信息指导的自适应采样，减少昂贵模型评估次数。
• 通过自动域分解与局部插值，实现对复杂PDE与黑箱模型的鲁棒代理建模。
• 确保在非结构化自适应采样数据点上插值的稳定性与精度。

提出的方法

• 采用基于最小生成树（MST）的自适应采样，使用自定义权重函数，平衡输入参数的概率密度与输出量中感兴趣的局部梯度。
• 使用支持向量机（SVM）对样本进行分类并检测不连续性，通过SVM分类边界实现域分解，以隔离具有不连续行为的区域。
• 将随机输入空间分解为非重叠的单元，使得每个局部输出量均可实现稳定插值。
• 在每个单元内应用最小正交插值，以在散乱的非结构化样本集上构建精确的局部近似。
• 通过MST迭代添加新样本，逐步提高高概率与高梯度区域的分辨率，直至收敛。
• 整个过程完全自适应，无需对响应的光滑性或不连续性做初始假设。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于最小生成树的自适应采样策略是否能有效减少模型评估次数，同时在不确定性量化中保持精度？
• RQ2 如何利用机器学习技术以最少样本检测并定位输出量中的不连续性？
• RQ3 基于SVM的域分解的多单元方法是否能防止吉布斯现象，同时保持光滑与不连续响应的精度？
• RQ4 MST采样、SVM分类与最小正交插值的组合在收敛性与鲁棒性方面，相较于传统随机配置方法，优势有多大？
• RQ5 该方法是否能自动区分光滑与不连续行为，而无需事先了解响应函数的特性？

主要发现

• MST-ME方法在复杂问题（如一维浅水方程与三维水坝崩塌模拟）中成功捕捉了响应中的不连续性，且未引入吉布斯现象。
• 在具有自由表面流的三维水坝崩塌问题中，该方法检测到一个依赖于高宽比的光滑非线性响应，未观察到不连续性——可能由于未建模气相。
• 经过6轮自适应采样，仅使用30个样本即实现了高精度代理模型，表明其具有快速收敛与高效性。
• MST-ME方法能自动判断响应是否光滑或不连续，无需事先了解响应行为。
• 最小正交插值在非结构化样本集上提供了稳定的局部近似，且在存在不连续性时仍保持鲁棒性。
• 该方法适用于PDE的参数化解法，可作为蒙特卡洛方法为基础的不确定性量化或反问题的代理模型。