[论文解读] An adaptive multiresolution discontinuous Galerkin method with artificial viscosity for scalar hyperbolic conservation laws in multidimensions

Juntao Huang, Yingda Cheng|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2019

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 52被引用 6

一句话总结

本文提出一种用于求解多维标量双曲守恒律的自适应多分辨率间断伽辽金（DG）方法，结合人工耗散。通过利用插值多小波高效计算非线性积分，该方法在光滑解情况下实现类似稀疏网格的计算复杂度，同时通过仅在叶级单元上应用局部人工耗散，保持了稳定性和准确性。

ABSTRACT

In this paper, we develop an adaptive multiresolution discontinuous Galerkin (DG) scheme for scalar hyperbolic conservation laws in multidimensions. Compared with previous work for linear hyperbolic equations \cite{guo2016transport, guo2017adaptive}, a class of interpolatory multiwavelets are applied to efficiently compute the nonlinear integrals over elements and edges in DG schemes. The resulting algorithm, therefore can achieve similar computational complexity as the sparse grid DG method for smooth solutions. Theoretical and numerical studies are performed taking into consideration of accuracy and stability with regard to the choice of the interpolatory multiwavelets. Artificial viscosity is added to capture the shock and only acts on the leaf elements taking advantages of the multiresolution representation. Adaptivity is realized by auto error thresholding based on hierarchical surplus. Accuracy and robustness are demonstrated by several numerical tests.

研究动机与目标

• 解决现有自适应多分辨率DG方法在非线性双曲守恒律问题中的计算低效问题，即尽管自由度减少，仍需执行完整的精细网格运算。
• 通过实现与稀疏网格DG方法相当的计算复杂度，提升光滑解的计算效率，将自由度从O(h⁻ᵈ)降低至O(h⁻¹|log₂h|ᵈ⁻¹)。
• 仅在多分辨率层级的叶级单元上选择性地引入人工耗散，以捕捉激波，同时避免对光滑区域造成精度劣化。
• 构建一种框架，避免将多尺度系数转换为单尺度表示，从而在整个时间演化过程中保持多分辨率结构。
• 通过多维标量守恒律问题的数值实验，验证方法在激波与光滑解情况下的鲁棒性与高精度。

提出的方法

• 在嵌套的层次化网格上使用插值多小波，以多分辨率框架表示解系数，基于层次剩余实现自适应加密。
• 采用稀疏网格配置技术高效计算非线性通量积分，避免完整精细网格组装，从而在光滑解情况下保持O(h⁻¹|log₂h|ᵈ⁻¹)的复杂度。
• 仅在多分辨率树的叶级单元上应用人工耗散，确保激波特性的捕捉，同时不影响光滑区域。
• 基于层次化网格上的间断多项式基函数构建DG格式，每个单元和边上的数值通量通过数值求积计算。
• 通过基于层次剩余的后验自适应策略实现自动误差阈值判定，动态地进行网格加密或降密，无需外部误差指示器。
• 通过理论分析确保插值多小波选择的稳定性与准确性，尤其针对非线性项和激波捕捉。

实验结果

研究问题

• RQ1 自适应多分辨率DG方法能否在多维双曲守恒律的光滑解情况下，实现与稀疏网格DG方法相同的计算复杂度？
• RQ2 在多分辨率框架中，如何实现人工耗散的局部化，以有效捕捉激波而不降低光滑解的精度？
• RQ3 插值多小波的选择对DG框架中非线性通量计算的稳定性与准确性有何影响？
• RQ4 多分辨率DG格式能否在不执行完整精细网格运算的情况下，保持非线性双曲问题中的精度与稳定性？
• RQ5 与现有需要对非线性项执行完整精细网格运算的自适应多分辨率DG方法相比，所提方法在效率与精度方面表现如何？

主要发现

• 所提方法在光滑解情况下实现了O(h⁻¹|log₂h|ᵈ⁻¹)的计算复杂度，与多维稀疏网格DG方法的效率相当。
• 人工耗散仅作用于多分辨率树的叶级单元，有效捕捉激波，同时保持光滑区域的精度。
• 插值多小波的使用使得在单元和边上高效计算非线性积分成为可能，避免了将多尺度系数转换为单尺度表示的需要。
• 数值实验表明，该方法在光滑解与含激波问题中均表现出鲁棒性与高精度，包括多维标量守恒律问题。
• 理论分析证实，该格式在插值多小波选择下具有稳定性与准确性，尤其针对非线性通量项。
• 自适应性通过基于层次剩余的自动阈值判定实现，无需依赖外部后验误差指示器。