[论文解读] An Adaptive Pole-Matching Method for Interpolating Reduced-Order Models

Yue Yao, Lihong Feng+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2019

Model Reduction and Neural Networks参考文献 17被引用 5

一句话总结

该论文提出了一种自适应极点匹配方法，通过分支定界法高效求解组合优化问题，实现参数化降阶模型（pROMs）的插值。该方法在复杂参数依赖关系下实现了高精度、稳定且高效的pROM构建，支持自适应采样和可选的回归以减少存储需求，在一个33,051自由度的麦克斯韦方程模型上验证了其高精度与鲁棒性。

ABSTRACT

An adaptive parametric reduced-order modeling method based on interpolating poles of reduced-order models is proposed in this paper. To guarantee correct interpolation, a pole-matching process is conducted to determine which poles of two reduced-order models correspond to the same parametric pole. First, the pole-matching in the scenario of parameter perturbation is discussed. It is formulated as a combinatorial optimization problem and solved by a branch and bound algorithm. Then, an adaptive framework is proposed to build repository ROMs at adaptively chosen parameter values, which well represent the parameter domain of interest. To achieve this, we propose techniques including a predictor-corrector strategy and an adaptive refinement strategy, which enable us to use larger steps to explore the parameter domain of interest with good accuracy. The framework also consists of regression as an optional post-processing phase to further reduce the data storage. The advantages over other parametric reduced-order modeling approaches are, e.g., compatibility with any model order reduction method, constant size of the parametric reduced-order model with respect to the number of parameters, and capability to deal with complicated parameter dependency.

研究动机与目标

• 为解决在全阶模型未以状态空间形式提供时，准确且高效插值参数化降阶模型（pROMs）的挑战。
• 克服在参数化模型降阶中暴力极点匹配方法计算不可行且不稳定的困境。
• 开发一种自适应框架，通过选择最优参数采样点构建存储高效的仓库ROM，实现高精度。
• 确保与任意模型降阶方法兼容，无论局部ROM是通过何种方式生成。
• 通过插值和可选回归，实现对复杂参数依赖关系（包括非光滑或非多项式行为）的鲁棒处理。

提出的方法

• 将所有局部降阶模型（ROMs）转换为极点-留数实现，以确保在不同参数值下的一致表示。
• 将两个ROM之间的极点匹配形式化为组合优化问题，以寻找极点与留数的正确对应关系。
• 采用分支定界算法高效求解极点匹配问题，尤其在小参数扰动下因初始猜测良好而表现优异。
• 自适应框架采用预测-校正策略与细化启发式方法，在保持精度的同时以较大步长探索参数域。
• 作为后处理步骤，应用回归以进一步压缩数据，通过参数空间中的低阶多项式近似pROM。
• 通过确保插值后的极点保持在左半平面来维持稳定性，必要时可回退至线性插值。

实验结果

研究问题

• RQ1 在参数扰动下，如何高效且稳健地执行降阶模型之间的极点匹配？
• RQ2 何种自适应采样策略可在最小化仓库ROM数量的前提下，实现对参数域的准确表示？
• RQ3 基于插值的pROM在特征值分岔点附近是否仍能保持高精度？
• RQ4 回归如何在保持精度的同时提升参数化模型降阶中的数据压缩效果？
• RQ5 在所提出的框架中，何种条件可确保与任意模型降阶方法的稳定性与兼容性？

主要发现

• 与暴力枚举相比，分支定界方法显著提升了极点匹配的效率与鲁棒性，尤其在小参数扰动下表现更优。
• 采用预测-校正与细化策略的自适应框架，仅需18个ROM即可覆盖参数范围[0.5, 0.9]，在容差τₑ = 0.00001下达到高精度。
• 插值与回归后的pROM均准确捕捉了分支定向耦合器模型的动力学特性，频域相对误差低于10⁻⁴。
• 回归仅在所有主导极点均正确匹配时才有效；若极点匹配错误，则导致全局近似性能差，凸显回归对匹配误差的高度敏感性。
• 该方法通过基于极点的插值自然保持了稳定性，因为左半平面内极点的线性插值仍保持稳定。
• 该方法与任意模型降阶方法兼容，包括数据驱动和投影型ROM，并能有效处理复杂参数依赖关系。