[论文解读] An adaptive reduced basis collocation method based on PCM ANOVA decomposition for anisotropic stochastic PDEs

Heyrim Cho, Howard C. Elman|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 34被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种基于PCM-ANOVA分解的自适应降维基配置方法，用于各向异性的随机PDE问题，以降低计算成本。该方法结合了维度自适应的ANOVA分解与参数方向上的多项式阶数自适应，实现了高效的误差控制和降维基排序，显著减少了在边界层存在的对流-扩散基准问题中的配置点数量，同时保持了高精度。

ABSTRACT

The combination of reduced basis and collocation methods enables efficient and accurate evaluation of the solutions to parameterized PDEs. In this paper, we study the stochastic collocation methods that can be combined with reduced basis methods to solve high-dimensional parameterized stochastic PDEs. We also propose an adaptive algorithm using a probabilistic collocation method (PCM) and ANOVA decomposition. This procedure involves two stages. First, the method employs an ANOVA decomposition to identify the effective dimensions, i.e., subspaces of the parameter space in which the contributions to the solution are larger, and sort the reduced basis solution in a descending order of error. Then, the adaptive search refines the parametric space by increasing the order of polynomials until the algorithm is terminated by a saturation constraint. We demonstrate the effectiveness of the proposed algorithm for solving a stationary stochastic convection-diffusion equation, a benchmark problem chosen because solutions contain steep boundary layers and anisotropic features. We show that two stages of adaptivity are critical in a benchmark problem with anisotropic stochasticity.

研究动机与目标

• 解决由于空间分辨率和随机维度高而导致的高维各向异性随机PDE求解的高计算成本问题。
• 开发一种高效的降维基方法，结合参数化配置与随机空间中的自适应采样。
• 克服概率配置方法中固定多项式阶数导致的误差减少停滞问题。
• 利用ANOVA指标实现按误差大小自动排序降维基解。
• 实现对具有不连续性和边界层的随机PDE（如对流-扩散方程）的准确矩估计。

提出的方法

• 应用ANOVA分解以识别对解方差贡献占主导地位的有效参数子空间。
• 利用ANOVA指标对参数方向进行排序，并按误差贡献大小降序排列降维基解。
• 实施两阶段自适应算法：首先自适应选择有效随机维度，然后在这些方向上提高多项式阶数p。
• 采用概率配置方法（PCM）结合稀疏网格点进行高维积分，动态细化参数空间。
• 使用饱和度约束在多项式阶数进一步提升带来的误差减少可忽略时终止细化过程。
• 将降维基投影与自适应PCM相结合，以最小化在线计算成本，同时保持统计矩的精度。

实验结果

研究问题

• RQ1 ANOVA分解如何用于识别和优先处理各向异性PDE中的有效随机维度？
• RQ2 在基于PCM的降维基方法中，自适应多项式阶数精炼对误差收敛性和计算成本有何影响？
• RQ3 与贪婪型方法相比，基于ANOVA的降维基解排序是否能降低计算成本？
• RQ4 两阶段自适应策略（维度与阶数自适应）如何提升具有边界层和不连续性的PDE问题的精度与效率？
• RQ5 所提出的方法在达到给定误差容限下，能将所需配置点数量减少到何种程度？

主要发现

• 当ν = 1/20时，在10×10划分下，自适应p方法将配置点数量从153减少到35，同时保持εRB = 10−3.5。
• 当ν = 1/20且εRB = 10−3.5时，自适应方法仅需288个搜索点，而固定p=9且M=100维时需25,410个点。
• 自适应算法检测并优先处理了与解不规则性（如边界层和不连续性）相关的随机方向。
• 基于ANOVA的排序减少了所需降维基快照的数量，当ν=1/20且εRB=10−3.5时，Nr=16，而固定p=9时需191个。
• 在ν=1/20且εRB=10−3.5时，该方法实现了矩误差eµ ≈ 1.0×10−3和eσ ≈ 2.5×10−2，表明具有高精度。
• 计算时间显著降低，自适应方法在ν=1/2且10×10划分下仅需512个搜索点，而固定p=9时需38,880个点。