[论文解读] An Adaptive Sampling Approach for the Reduced Basis Method

Sridhar Chellappa, Lihong Feng+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2019

Model Reduction and Neural Networks被引用 5

一句话总结

该论文提出了一种用于降维方法的自适应采样方法，通过使用基于径向基函数（RBF）的误差代理模型，动态更新粗略的训练集，以在确保保证精度的同时最小化离线计算成本。通过迭代地从精细网格中添加高误差参数并移除满足容差的参数，该方法在24次迭代内实现了误差低于$10^{-3}$的降阶模型——其运行时间仅为41.52秒，优于固定训练集的74.09秒，且在固定方法失败的情况下仍满足容差要求。

ABSTRACT

The offline time of the reduced basis method can be very long given a large training set of parameter samples. This usually happens when the system has more than two independent parameters. On the other hand, if the training set includes fewer parameter samples, the greedy algorithm might produce a reduced-order model with large errors at the samples outside of the training set. We introduce a method based on a surrogate error model to efficiently sample the parameter domain such that the training set is adaptively updated starting from a coarse set with a small number of parameter samples. A sharp a posteriori error estimator is evaluated on a coarse training set. Radial Basis Functions are used to interpolate the error estimator over a separate fine training set. Points from the fine training set are added into the coarse training set at every iteration based on a user defined criterion. In parallel, parameter samples satisfying a defined tolerance are adaptively removed from the coarse training set. The approach is shown to avoid high computational costs by using a small training set and to provide a reduced-order model with guaranteed accuracy over a fine training set. Further, we show numerical evidence that the reduced-order model meets the defined tolerance over an independently sampled test set from the parameter domain.

研究动机与目标

• 解决在处理大规模或高维参数域时，降维方法面临的高离线计算成本问题。
• 克服贪婪降维方法中训练集大小与精度之间的权衡。
• 开发一种自适应采样策略，在最小化全阶模型求解次数的同时保持精度。
• 集成代理误差模型，以高效探索参数空间，而无需在每个点都计算全阶模型。
• 确保最终的降阶模型在整个参数域内（包括独立采样的测试集）均满足用户定义的容差。

提出的方法

• 以随机选择的参数样本组成的较小、较粗略的训练集初始化降维方法。
• 使用精确的后验误差估计器，评估粗略训练集中每个参数处的降阶模型误差。
• 构建径向基函数（RBF）代理模型，对精细训练集上的误差估计器进行插值，实现在无需求解全阶模型的情况下快速估计误差。
• 在每次贪婪迭代中，识别精细训练集中代理误差较高的参数，并将其添加到粗略训练集中，以丰富基函数。
• 移除满足用户定义容差的粗略训练集中的参数，以保持最小但具有代表性的训练集。
• 应用交叉验证选择RBF核的最优形状参数，以提高代理模型的精度与稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 自适应采样策略是否能在不牺牲精度的前提下降低降维方法的离线计算成本？
• RQ2 基于RBF插值的代理误差模型在高维问题中如何提升参数域探索的效率？
• RQ3 自适应移除已收敛参数在多大程度上能减少训练集规模，同时保持精度？
• RQ4 当训练集较小且为自适应时，所提方法是否仍能在独立采样的测试集上实现期望的容差？
• RQ5 在运行时间和误差控制方面，自适应方法与固定训练集方法相比表现如何？

主要发现

• 自适应方法在测试集上实现了最大误差$ \num{1e-3} $，满足用户定义的容差，而固定训练集方法未能实现此目标。
• 自适应算法在24次迭代内收敛，降阶模型阶数为74，而固定方法的阶数为44，且仍超过容差。
• 在热传导模型示例中，运行时间从固定方法的74.09秒降低至自适应方法的41.52秒，显著节省了计算资源。
• 自适应方法在收敛行为和最终误差分布方面均优于固定方法，如误差衰减曲线和最终误差分布图所示。
• 基于RBF的误差代理模型实现了对参数空间的高效探索，减少了贪婪迭代过程中对全阶模型求解的需求。
• 该方法成功集成到自适应POD-Greedy-(D)EIM算法中，为参数化PDE问题构建了完全自适应的降维基框架。