[论文解读] An Adaptive-to-Model Test for Parametric Single-Index Errors-in-Variables Models

Hira L. Koul, Chuanlong Xie+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2016

Statistical Methods and Inference参考文献 27被引用 4

一句话总结

本文提出两种针对带有验证数据的参数化单 index 错误变量模型的自适应模型检验方法，采用自适应策略以消除维度灾难。这些检验在一般替代假设下具有整体一致性，其表现类似于仅含一个协变量的局部平滑检验，从而在不依赖误差或协变量分布知识的前提下，实现了更高的效率和稳健性。

ABSTRACT

This paper provides some useful tests for fitting a parametric single-index regression model when covariates are measured with error and validation data is available. We propose two tests whose consistency rates do not depend on the dimension of the covariate vector when an adaptive-to-model strategy is applied. One of these tests has a bias term that becomes arbitrarily large with increasing sample size but its asymptotic variance is smaller, and the other is asymptotically unbiased with larger asymptotic variance. Compared with the existing local smoothing tests, the new tests behave like a classical local smoothing test with only one covariate, and still are omnibus against general alternatives. This avoids the difficulty associated with the curse of dimensionality. Further, a systematic study is conducted to give an insight on the effect of the values of the ratio between the sample size and the size of validation data on the asymptotic behavior of these tests. Simulations are conducted to examine the performance in several finite sample scenarios.

研究动机与目标

• 开发在协变量存在测量误差时，针对参数化单 index 模型的有效且整体的缺乏拟合检验方法。
• 通过应用自适应模型策略，解决现有局部平滑检验中的维度灾难问题。
• 构建在真实回归函数偏离参数形式时仍保持一致性和高效性的检验方法。
• 在协变量与测量误差分布均未知的一般条件下运行。
• 研究样本量与验证数据量之比对检验渐近行为的影响。

提出的方法

• 基于自适应模型估计提出两种检验统计量，利用验证数据校准回归函数。
• 采用核平滑方法，并自适应选择带宽以减少偏差与方差之间的权衡。
• 通过条件期望与弱收敛性论证，推导检验统计量在原假设与备则假设下的渐近分布。
• 使用去卷积技术与经验似然方法，从验证数据中估计指数得分的密度。
• 应用双重核平滑方法，估计校准后的回归函数及其方差分量。
• 在原假设下建立检验统计量的渐近正态性，方差分量通过核积分近似方法推导。

实验结果

研究问题

• RQ1 自适应模型检验能否在错误变量模型的非参数检验中消除维度灾难？
• RQ2 所提出的检验在偏差与方差方面的渐近特性与经典局部平滑检验相比如何？
• RQ3 样本量与验证数据量之比对检验统计量渐近行为有何影响？
• RQ4 在不假设误差或协变量分布已知的情况下，检验能否保持对一般替代假设的整体检验效能？
• RQ5 自适应策略如何影响检验统计量中偏差与方差之间的权衡？

主要发现

• 所提出的检验在一致率上与协变量维度无关，成功克服了维度灾难。
• 一种检验具有随样本量增长的偏差项，但具有更小的渐近方差；另一种检验渐近无偏，但方差较大。
• 检验在渐近意义上表现如同仅含一个协变量的经典局部平滑检验，保持了整体检验效能。
• 检验统计量的渐近分布为正态分布，其方差由核积分近似方法推导得出。
• 样本量与验证数据量之比显著影响渐近行为，特别是对方差分量有显著影响。
• 模拟研究证实了在各种情景下良好的有限样本表现，验证了理论结果。