[论文解读] An Adaptivity Hierarchy Theorem for Property Testing

Clément L. Canonne, Tom Gur|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文在属性测试中建立了自适应性层次定理，证明了对于每个 k ≤ n^0.99，存在一个属性，其 (k−1)-自适应测试器需要 Ω(n) 次查询，而 k-自适应测试器仅需 Õ(k) 次查询。该结果表明，每增加一轮自适应性，测试能力均呈严格且平滑的提升，解决了关于自适应性在查询复杂度中作用的长期悬而未决问题。

ABSTRACT

Adaptivity is known to play a crucial role in property testing. In particular, there exist properties for which there is an exponential gap between the power of \emph{adaptive} testing algorithms, wherein each query may be determined by the answers received to prior queries, and their \emph{non-adaptive} counterparts, in which all queries are independent of answers obtained from previous queries. In this work, we investigate the role of adaptivity in property testing at a finer level. We first quantify the degree of adaptivity of a testing algorithm by considering the number of "rounds of adaptivity" it uses. More accurately, we say that a tester is $k$-(round) adaptive if it makes queries in $k+1$ rounds, where the queries in the $i$'th round may depend on the answers obtained in the previous $i-1$ rounds. Then, we ask the following question: Does the power of testing algorithms smoothly grow with the number of rounds of adaptivity? We provide a positive answer to the foregoing question by proving an adaptivity hierarchy theorem for property testing. Specifically, our main result shows that for every $n\in \mathbb{N}$ and $0 \le k \le n^{0.99}$ there exists a property $\mathcal{P}_{n,k}$ of functions for which (1) there exists a $k$-adaptive tester for $\mathcal{P}_{n,k}$ with query complexity $ ilde{O}(k)$, yet (2) any $(k-1)$-adaptive tester for $\mathcal{P}_{n,k}$ must make $Ω(n)$ queries. In addition, we show that such a qualitative adaptivity hierarchy can be witnessed for testing natural properties of graphs.

研究动机与目标

• 本文研究属性测试器的性能是否随着自适应轮数的增加而平滑提升。
• 旨在解决一个开放性问题：自适应性是否带来查询复杂度的渐进式而非离散式的改进。
• 作者致力于构造显式属性，使其基于自适应轮数表现出严格的查询复杂度层次结构。
• 目标是证明对于所有 k ≤ n^0.99，k-自适应测试器严格强于 (k−1)-自适应测试器。
• 该研究还探讨了自然图属性，以证明此类层次结构不仅存在于人为构造中，也存在于真实世界相关的自然属性中。

提出的方法

• 本文将 k-自适应测试器定义为在 k+1 轮中进行查询的测试器，其中每一轮的查询均依赖于前一轮的查询结果。
• 引入决策树层次结构以刻画 k-自适应测试器的计算能力。
• 利用局部可测试和可解码的编码来构造在较少自适应轮数下难以测试的函数。
• 采用从通信复杂性问题（特别是稀疏集合不相交问题）到属性测试的归约方法，以推导下界。
• 该方法借助传递引理，将决策树复杂度与属性测试中的查询复杂度联系起来。
• 对于图属性，本文在有界度图模型中利用无环性来展示该层次结构，证明其存在于自然且具有现实意义的属性中。

实验结果

研究问题

• RQ1 属性测试器的性能是否随着自适应轮数的增加而平滑提升，还是仅表现为离散式的改进？
• RQ2 能否建立一个严格层次结构，使得对所有 k ≤ n^0.99，k-自适应测试器严格强于 (k−1)-自适应测试器？
• RQ3 是否存在自然图属性表现出此类自适应性层次结构，而不仅限于人为构造？
• RQ4 能否通过决策树归约，将通信复杂性下界传递到属性测试中？
• RQ5 是否存在轮自适应测试器与尾自适应测试器之间的分离？若存在，其差距有多大？

主要发现

• 对于每个 k ≤ n^0.99，存在一个属性 Pn,k，其可由 k-自适应测试器以 Õ(k) 次查询完成测试。
• 任何针对 Pn,k 的 (k−1)-自适应测试器都必须进行 Ω(n) 次查询，从而在相邻自适应层级之间建立了超常数差距。
• 自适应性层次结构是严格且平滑的，每增加一轮自适应性均能带来查询复杂度的非平凡降低。
• 该层次结构也适用于自然图属性：在有界度图模型中，无环性表现出相同的特性。
• 轮自适应测试器与尾自适应测试器之间存在分离，后者即使在前者仅需 Õ(k) 次查询完成 k 轮测试时，仍需 Ω(n) 次查询。
• 结果在轮数方面是紧的，因为当 k > n^0.99 时，由于构造本身的固有限制，该层次结构将不再成立。