[论文解读] An additive combinatorics approach to the log-rank conjecture in communication complexity

Eli Ben‐Sasson, Shachar Lovett+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2011

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 7被引用 6

一句话总结

该论文在加法组合数学的多项式弗里德曼-鲁扎（PFR）猜想成立的前提下，证明了任意 {0,1}-矩阵 M 的确定性通信复杂度被有界于 O(rank(M)/log rank(M))。证明利用了在 PFR 下改进的近似对偶性界，并将 Nisan-Wigderson 协议框架适配为递归分解矩阵的方法，通过使用低 discrepancy 子矩阵，实现了相对于先前基于秩的 O(rank(M)) 上界的近乎线性改进。

ABSTRACT

For a $\{0,1\}$-valued matrix $M$ let $ m{CC}(M)$ denote the deterministic communication complexity of the boolean function associated with $M$. The log-rank conjecture of Lovász and Saks [FOCS 1988] states that $ m{CC}(M) \leq \log^c( m{rank}(M))$ for some absolute constant $c$ where $ m{rank}(M)$ denotes the rank of $M$ over the field of real numbers. We show that $ m{CC}(M)\leq c \cdot m{rank}(M)/\log m{rank}(M)$ for some absolute constant $c$, assuming a well-known conjecture from additive combinatorics known as the Polynomial Freiman-Ruzsa (PFR) conjecture. Our proof is based on the study of the "approximate duality conjecture" which was recently suggested by Ben-Sasson and Zewi [STOC 2011] and studied there in connection to the PFR conjecture. First we improve the bounds on approximate duality assuming the PFR conjecture. Then we use the approximate duality conjecture (with improved bounds) to get the aforementioned upper bound on the communication complexity of low-rank martices, where this part uses the methodology suggested by Nisan and Wigderson [Combinatorica 1995].

研究动机与目标

• 为通信复杂度在矩阵秩方面的已知对数下界与多项式上界之间提供更紧密的间隙填补。
• 探究加法组合数学中的多项式弗里德曼-鲁扎（PFR）猜想是否能推出更强的通信复杂度上界。
• 改进与 PFR 猜想及矩阵结构密切相关之近似对偶性概念的界。
• 将这些改进的界应用于推导出低秩 {0,1}-矩阵确定性通信复杂度的新紧致上界。
• 通过展示加法组合数学中的结构性结果可带来通信协议中的算法改进，从而在加法组合数学与通信复杂度之间建立桥梁。

提出的方法

• 假设多项式弗里德曼-鲁扎（PFR）猜想，以推导出 F_2^n 中集合近似对偶性的改进界。
• 利用改进的近似对偶性界分析低秩 {0,1}-矩阵的结构，并识别出具有高 discrepancy 的子矩阵。
• 利用 Nisan 和 Wigderson 的已知结果，保证存在一个子矩阵 M'，其 discrepancy 至少为 r^(-3/2)，且大小至少为 r^(-3/2) * |M|。
• 在 PFR 假设下，应用引理 3.2，保证存在一个大小至少为 2^(-O(r/log r)) * |M| 的单色子矩阵 M''，其中 r = rank(M)。
• 设计一种递归协议，基于单色子矩阵对矩阵进行划分，选择子矩阵秩较低的一方（行或列）以最小化通信量。
• 建立协议叶节点数的递推关系：L(m,r) ≤ L(m,r/2) + L(m(1−δ),r)，其中 δ ≥ 2^(-cr/log r)，并求解该递推式，得到 L(m,r) = 2^O(r/log r)，从而推出通信复杂度为 O(r/log r)。

实验结果

研究问题

• RQ1 在当前已知的 O(rank(M)) 上界下，PFR 猜想是否能推出比之更优的通信复杂度上界？
• RQ2 在 PFR 下改进的近似对偶性界是否可用于为低秩矩阵构造更高效的通信协议？
• RQ3 在确定性模型中，能否充分借助基于 discrepancy 的矩阵分解方法来降低通信复杂度？
• RQ4 在 PFR 猜想下，{0,1}-矩阵 M 的通信复杂度是否被有界于 O(rank(M)/log rank(M))？
• RQ5 基于单色子矩阵与秩缩减的递归协议结构，与通信复杂度领域先前的方法相比，其表现如何？

主要发现

• 在多项式弗里德曼-鲁扎（PFR）猜想成立的前提下，任意 {0,1}-矩阵 M 的通信复杂度被有界于 O(rank(M)/log rank(M))。
• 该证明在 PFR 猜想下建立了近似对偶性的改进界，这些界对于识别出大的单色子矩阵至关重要。
• 根据已知结果，对于任意秩为 r 的矩阵 M，均存在一个子矩阵 M'，其 discrepancy 至少为 r^(-3/2)，且大小至少为 r^(-3/2) * |M|。
• 在 PFR 猜想下，保证存在一个大小至少为 2^(-O(r/log r)) * |M| 的单色子矩阵 M''，从而支持递归协议的设计。
• 递归协议结构产生如下递推关系：L(m,r) ≤ L(m,r/2) + L(m(1−δ),r)，其中 δ ≥ 2^(-cr/log r)，最终得出 L(m,r) = 2^O(r/log r) 个叶节点。
• 这意味着 M 的确定性通信复杂度为 O(rank(M)/log rank(M))，优于此前最优的 O(rank(M)) 上界。