[论文解读] An adjunction inequality for the Bauer-Furuta type invariants, with applications to sliceness and 4-manifold topology

Nobuo Iida, Anubhav Mukherjee+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2021

Geometric and Algebraic Topology参考文献 37被引用 4

一句话总结

本文通过颈部拉伸与等变稳定同伦理论，为具有接触边界且 b₃=0 的 4-流形中的 Bauer–Furuta 型不变量建立了新的邻接不等式。证明了若不变量非零，则自交数非负的非挠同调类无法由光滑嵌入的 2-球面实现，从而为辛 4-流形中的光滑 sliceness 和微分结构异样性提供了新障碍。

ABSTRACT

Our main result gives an adjunction inequality for embedded surfaces in certain $4$-manifolds with contact boundary under a non-vanishing assumption on the Bauer--Furuta type invariants. Using this, we give infinitely many knots in $S^3$ that are not smoothly H-slice (that is, bounding a null-homologous disk) in many $4$-manifolds but they are topologically H-slice. In particular, we give such knots in the boundaries of the punctured elliptic surfaces $E(2n)$. In addition, we give obstructions to codimension-0 orientation-reversing embedding of weak symplectic fillings with $b_3=0$ into closed symplectic 4-manifolds with $b_1=0$ and $b_2^+\equiv 3$ mod $4$. From here we prove a Bennequin type inequality for symplectic caps of $(S^3,ξ_{std})$. We also show that any weakly symplectically fillable $3$-manifold bounds a $4$-manifold with at least two smooth structures.

研究动机与目标

• 为具有接触边界且 b₃=0 的 4-流形中的 Bauer–Furuta 型不变量建立邻接不等式。
• 将该不等式应用于阻碍在拓扑 H-截面但非光滑 H-截面的 4-流形中 knots 的光滑 H-截面性。
• 为弱辛填充在闭合辛 4-流形中进行 codimension-0 反向定向嵌入提供新障碍。
• 为 (S³, ξ_std) 的辛帽建立类 Bennequin 不等式，将规范理论工具扩展至更广的 4-流形类。
• 通过非零不变量与连通和公式检测具有边界的 4-流形上的微分异样结构。

提出的方法

• 采用受 Frøyshov（2005）与 Kronheimer–Mrowka（1994）启发的颈部拉伸论证，在 Seiberg–Witten 理论中推导出类邻接不等式。
• 使用第一作者对具有接触边界的 spin c 4-流形（满足 b₃(W)=0）的 Bauer–Furuta 型精化 Ψ(W,ξ,s)。
• 应用不变量 Ψ(W#X, s_ω#s_X) 的连通和公式，将相对不变量与闭流形上的绝对不变量关联。
• 利用 Floer 同伦接触不变量与 [IT20] 中的粘合定理，建立 Ψ(W#X, s_ω#s_X) 的非零性结果。
• 利用 Bauer–Furuta 不变量的 S¹-等变稳定同伦类结构来检测非平凡性。
• 将邻接不等式与已知的 knot 同伦论及有理同调球面结果结合，以阻碍 sliceness。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有接触边界且 b₃=0 的 4-流形中的 Bauer–Furuta 型不变量建立邻接不等式？
• RQ2 该不等式对在拓扑 H-截面但非光滑 H-截面的 4-流形中 knots 的光滑 H-截面性提供了何种障碍？
• RQ3 该不变量能否通过非零不变量检测具有边界的 4-流形上的微分异样结构？
• RQ4 邻接不等式对 (S³, ξ_std) 的辛帽有何影响，尤其与辛填充相比？
• RQ5 在何种条件下，满足 b₃=0 的弱辛填充可被嵌入到满足 b₁=0 且 b₂⁺≡3 mod 4 的闭合辛 4-流形中？

主要发现

• 邻接不等式表明：若对具有接触边界 (Y,ξ) 且 b₃(W)=0 的 spin c 4-流形 W 有 Ψ(W,ξ,s) ≠ 0，则 H₂(W,∂W;ℤ) 中的任何非挠同调类均无法由自交数非负的光滑嵌入 2-球面实现。
• 在穿孔椭圆曲面 E(2n) 的边界中，S³ 中存在无穷多个 knots（包括 {T_{2,2ⁿ⁻¹}}），它们是拓扑 H-截面但非光滑 H-截面。
• 当 X 具有非 S¹-零伦同调不变量且 W 是满足 b₃=0 的弱辛填充时，相对 Bauer–Furuta 不变量 Ψ(W#X, s_ω#s_X) 非零，且等于 BF(X,s_X)。
• 为 (S³, ξ_std) 的辛帽建立了类 Bennequin 不等式，将规范理论工具扩展至更广的 4-流形类。
• 任何弱辛填充可实现的 3-流形均边界一个至少具有两个不同微分结构的 4-流形，这些结构可通过非零不变量检测。
• 该不变量可检测微分异样对：例如，X = W#K3#ℂℙ² 与 X′ = W#3ℂℙ²#20ℂℙ² 同胚但不同胚，因为 Ψ(X′,ξ)=0 而 Ψ(X,ξ)≠0。