[论文解读] An ADMM Algorithm for Solving l_1 Regularized MPC

Mariette Annergren, Anders Hansson+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2012

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 22被引用 24

一句话总结

本文提出一种用于求解ℓ1正则化模型预测控制（MPC）问题的ADMM算法，利用Riccati递推高效处理计算量最大的步骤——将迭代值投影到可行集上。该方法在预测时域上具有线性复杂度，且能快速收敛至中等精度，适用于具有稀疏控制输入的实时MPC应用。

ABSTRACT

We present an Alternating Direction Method of Multipliers (ADMM) algorithm for solving optimization problems with an l_1 regularized least-squares cost function subject to recursive equality constraints. The considered optimization problem has applications in control, for example in l_1 regularized MPC. The ADMM algorithm is easy to implement, converges fast to a solution of moderate accuracy, and enables separation of the optimization problem into sub-problems that may be solved in parallel. We show that the most costly step of the proposed ADMM algorithm is equivalent to solving an LQ regulator problem with an extra linear term in the cost function, a problem that can be solved efficiently using a Riccati recursion. We apply the ADMM algorithm to an example of l_1 regularized MPC. The numerical examples confirm fast convergence to moderate accuracy and a linear complexity in the MPC prediction horizon.

研究动机与目标

• 开发一种针对具有递推等式约束的ℓ1正则化MPC的高效优化算法。
• 通过证明投影步骤等价于求解带额外线性项的LQ调节器问题，解决ADMM中的计算瓶颈。
• 通过确保快速收敛和预测时域的线性复杂度，实现实时MPC。
• 证明ADMM所得中等精度解的控制性能与高精度解相当。
• 将ADMM的适用范围扩展至具有稀疏输入信号的ℓ1正则化最优控制问题。

提出的方法

• 将ADMM算法应用于具有递推状态和输入动态约束的ℓ1正则化最小二乘优化问题。
• ADMM中的关键步骤——可行集上的投影——被重新表述为求解带附加线性代价项的线性二次调节器问题。
• 采用Riccati递推高效求解投影子问题，实现对预测时域的前向和后向扫描。
• Riccati递推在每次ADMM迭代中仅计算一次，并在所有迭代中复用，避免了如内点法或活动集法中每轮迭代均需重新计算的开销。
• 对于不稳定系统，采用状态反馈预稳定化方法，以确保Riccati递推的数值稳定性，同时不改变原问题的结构。
• 在具有不同预测时域的MPC示例上实现并测试该算法，以评估收敛性能和计算成本。

实验结果

研究问题

• RQ1 ADMM能否高效应用于具有递推动态约束的ℓ1正则化MPC？
• RQ2 ADMM中最耗时的步骤是否等价于求解带额外线性项的LQ调节器问题？
• RQ3 所提方法是否在预测时域H上实现线性复杂度？
• RQ4 ADMM算法以多快的速度收敛至适合实时MPC的中等精度解？
• RQ5 仅经过10次ADMM迭代所得解的控制性能是否与1000次迭代所得解相当？

主要发现

• ADMM算法收敛迅速，原始和对偶残差在前20次迭代内急剧下降。
• 数值实验表明，ADMM每次迭代的计算成本随预测时域H线性增长（H从5到100）。
• 仅经过10次ADMM迭代所得解的控制性能几乎与1000次迭代所得解完全相同，支持100 Hz的采样率。
• ADMM中最耗时的步骤等价于求解带额外线性项的LQ调节器问题，该问题通过Riccati递推高效求解。
• Riccati递推可在所有ADMM迭代中复用，而内点法或活动集法则需每轮迭代重新计算或更新。
• 对于不稳定系统，通过状态反馈进行预稳定化可确保Riccati递推的数值稳定性，且不改变原始问题结构。