[论文解读] An advection-diffusion process with proportional resetting

J. Kevin Pierce|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2022

Diffusion and Search Dynamics被引用 6

一句话总结

本文提出了一种具有比例重置的新型对流-扩散过程，其中状态在泊松分布的时间点被瞬时减少至分数 $\varepsilon u$。该模型由带有加性噪声和乘性泊松脉冲噪声的朗之万方程所支配，导致一个具有泛函形式的福克-普朗克方程（即潘托格方程），其解可给出精确的统计矩和稳态分布，该分布随 $\varepsilon$ 的变化在指数与高斯形式之间插值。主要贡献在于对过程的完整解析表征，包括其首达时间动力学和极限行为。

ABSTRACT

This paper presents a diffusion process with a novel resetting mechanism in which the amplitude of the process is instantaneously converted to a proportion of its value at random times. This model is described by a Langevin equation with both additive Gaussian white noise and multiplicative Poisson shot noise terms. The distribution function obeys a pantograph equation, a functional partial differential equation evaluated at two amplitudes simultaneously. From this equation the exact statistical moments and steady-state distribution of the process are calculated. The distribution interpolates between exponential and Gaussian extremes depending on the proportion of the amplitude lost in each reset. These results will be useful for applications in which stochastic quantities are suddenly reduced in proportion to their values due to random events.

研究动机与目标

• 为了建模在随机时间点状态值被瞬时减少至比例 $\varepsilon u$ 的随机过程，推广固定值重置机制。
• 推导具有对流、扩散和比例重置的此类过程的支配朗之万方程和福克-普朗克方程。
• 解析计算该过程的精确统计矩和稳态概率分布。
• 研究当 $\varepsilon \to 1$（弱重置）和 $\varepsilon \to 0$（强重置）时，稳态分布的极限行为。
• 建立在比例重置下到达原点的平均首达时间的控制方程。

提出的方法

• 构建一个带有常数对流项 $\Gamma$、强度为 $2D$ 的高斯白噪声 $\xi(t)$，以及速率 $r$ 和强度 $1-\varepsilon$ 的乘性泊松脉冲噪声 $I(t)$ 的朗之万方程。
• 推导概率密度函数的前向福克-普朗克方程，由于状态依赖的重置，其形式为函数型偏微分方程（即潘托格方程）。
• 使用傅里叶变换技术并结合复平面上无限乘积的部分分式分解，求解福克-普朗克方程。
• 通过围道积分逐项反演特征函数，根据状态变量 $u$ 的符号区分不同情形。
• 利用 $q$-Pochhammer 符号和渐近展开计算归一化常数，将稳态分布表示为无穷乘积和级数的形式。
• 通过求解相关函数微分方程，推导到达原点的平均首达时间，将该框架扩展至首达时间特性。

实验结果

研究问题

• RQ1 比例重置——即在随机时间点将状态减少至 $\varepsilon u$——如何改变对流-扩散过程的统计特性？
• RQ2 该过程的稳态概率分布的确切形式是什么？当 $\varepsilon$ 变化时，其如何在指数行为与高斯行为之间插值？
• RQ3 在比例重置下，统计矩（包括均值和方差）的确切表达式是什么？
• RQ4 当 $\varepsilon \to 1$ 和 $\varepsilon \to 0$ 时，极限情况如何影响稳态分布和基本动力学？
• RQ5 在该比例重置框架下，到达原点的平均首达时间的控制方程是什么？

主要发现

• 稳态分布以包含 $q$-Pochhammer 符号的项之和形式导出，其归一化常数通过二次方程根的无穷乘积表示。
• 当 $\varepsilon \to 1$ 时，稳态分布收敛于高斯分布，与标准的 Ornstein-Uhlenbeck 过程一致，且存在 $\mathcal{O}(\sqrt{1-\varepsilon})$ 阶的修正。
• 当 $\varepsilon \to 0$ 时，稳态分布趋近于指数形式，表明由于频繁且剧烈的重置，状态强烈局域化于零附近。
• 该过程的精确一阶矩和二阶矩被显式推导，表明即使在对流和重置存在的情况下，其均值仍为有限值，方差也保持有界。
• 到达原点的平均首达时间由一个泛函微分方程控制，该方程将标准首达时间框架推广至状态依赖的重置情形。
• 通过围道积分对傅里叶变换后的特征函数进行求解，其极点位于 $z = i\lambda_{\pm}\varepsilon^{-l}$，从而得到概率密度的级数表示。