[论文解读] An affine open covering of $\mathcal{M}_g$ for $g \le 5$

Claudio Fontanari, Stefano Pascolutti|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文证明了对于所有满足 $2 \leq g \leq 5$ 的整数 $g$，亏格 $g$ 的光滑曲线的模空间 $\sigma\mathcal{M}_g$ 是 $g-1$ 个仿射开子集的并集，从而证实了Looijenga的猜想。证明方法基于模形式与theta特征标，通过在Satake紧化空间 $\mathcal{A}_g$ 上利用与theta常数及二阶结构相关的模形式的零点集，构造了显式的仿射开覆盖。关键结果是为 $g=4$ 和 $g=5$ 构造了此类覆盖，扩展了对 $g=2,3$ 的已知结果。该方法依赖于证明Satake紧化空间中的某些除子包含低亏格曲线周期的乘积，从而确保其补集为仿射集。

ABSTRACT

We prove that the moduli space $\mathcal{M}_g$ of smooth curves of genus $g$ is the union of $g-1$ affine open subsets for every $g$ with $2 \le g \le 5$, as predicted by an intriguing conjecture of Eduard Looijenga.

研究动机与目标

• 证明Looijenga猜想：对于 $2 \leq g \leq 5$，有 $\mathcal{M}_g$ 是 $g-1$ 个仿射开子集的并集。
• 通过模形式与theta特征标，将 $g=2,3$ 的已知结果扩展至 $g=4,5$。
• 通过在Satake紧化空间 $\mathcal{A}_g^*$ 上利用模形式的零点集，构造 $\mathcal{M}_g$ 的显式仿射开覆盖。
• 通过证明其在 $\mathcal{A}_g^*$ 中的闭包包含低亏格曲线周期的乘积，验证 $\mathcal{M}_g$ 中某些除子的补集为仿射集。
• 建立关键除子交集为空，从而确保开覆盖条件成立。

提出的方法

• 使用主极化阿贝尔簇模空间的Satake紧化空间 $\mathcal{A}_g^* = \operatorname{Proj}(A(\Gamma))$，并赋予二阶结构。
• 在 $\mathcal{M}_4$ 中定义三个关键除子：$\Theta_{\text{null}}$、$D_1$ 和 $D_H$，其补集为候选仿射开集。
• 对于 $g=5$，增加一个额外除子 $D_T$ 以构成开覆盖，其中 $D_H$ 与 $D_T$ 分别由模形式 $F_H$ 与 $F_T$ 的零点定义。
• 应用推论1，通过证明其在 $\mathcal{A}_g^*$ 中的闭包包含光滑曲线与节点曲线周期的乘积，验证每个除子的补集为仿射集。
• 利用theta常数在分块对角周期矩阵下的分裂性质，计算此类乘积上vanishing的theta常数个数。
• 利用引理3，证明若在乘积周期上超过 $v(g)$ 个偶theta常数为零，则模形式 $F_H$ 或 $F_T$ 为零，从而推出该周期位于除子的闭包中。

实验结果

研究问题

• RQ1 Looijenga猜想预测 $\mathcal{M}_g$ 可被 $g-1$ 个仿射开子集覆盖，对于 $g=4$ 和 $g=5$ 是否成立？
• RQ2 在 $\mathcal{A}_g[2]$ 上，特定模形式 $F_H$ 与 $F_T$ 的零点集是否在 $\mathcal{M}_g$ 中定义出补集为仿射集的除子？
• RQ3 $\Theta_{\text{null}}$、$D_1$ 与 $D_H$（或 $D_T$）在 $\mathcal{M}_g$ 中的交集是否为空，以确保开覆盖条件成立？
• RQ4 $\mathcal{A}_g^*$ 中除子 $D_H$ 的闭包是否包含所有低亏格光滑与节点曲线周期的乘积？
• RQ5 在周期矩阵乘积上，vanishing的偶theta常数个数是否可用于验证模形式在这些点上为零？

主要发现

• 对于 $g=4$，有 $\mathcal{M}_4$ 是三个仿射开子集的并集：$\mathcal{M}_4 \setminus \Theta_{\text{null}}$、$\mathcal{M}_4 \setminus D_1$ 与 $\mathcal{M}_4 \setminus D_H$，其中 $D_H$ 由模形式 $F_H$ 的零点定义。
• 对于 $g=5$，有 $\mathcal{M}_5$ 是四个仿射开子集的并集：$\mathcal{M}_5 \setminus \Theta_{\text{null}}$、$\mathcal{M}_5 \setminus D_1$、$\mathcal{M}_5 \setminus D_H$ 与 $\mathcal{M}_5 \setminus D_T$，其中 $D_T$ 由模形式 $F_T$ 的零点定义。
• $\mathcal{A}_4^*$ 中 $D_H$ 的闭包包含所有亏格为 2 与 2，或 1 与 3 的光滑与节点曲线周期的乘积，因为此类点上超过 $v(4)=10$ 个偶theta常数为零。
• $\mathcal{A}_5^*$ 中 $D_H$ 的闭包包含所有此类乘积，因为在此类形如 $\operatorname{diag}(\tau_1, \tau_2)$ 且满足 $g_1+g_2=5$ 的周期矩阵上，超过 $v(5)=66$ 个偶theta常数为零。
• $\mathcal{M}_4$ 中 $\Theta_{\text{null}} \cap D_1 \cap D_H$ 为空，且 $\mathcal{M}_5$ 中 $\Theta_{\text{null}} \cap D_1 \cap D_T \cap D_H$ 为空，从而确保开覆盖条件成立。
• $\mathcal{M}_g \setminus D_H$ 与 $\mathcal{M}_g \setminus D_T$ 为仿射集，因为 $D_H$ 与 $D_T$ 在 $\mathcal{A}_g^*$ 中的闭包包含相关边界层的周期乘积。