[论文解读] An Algebraic Approach to a Class of Rank-Constrained Semi-Definite Programs With Applications

Matthew W. Morency, Sergiy A. Vorobyov|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2016

Antenna Design and Optimization参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文提出了一种代数方法，通过利用实际约束（如零陷形状）所施加的多项式结构，精确求解秩约束的半定规划（SDP）。通过将解空间限制在与期望秩相同的维度的多项式空间中，问题转化为凸优化问题，可精确求解，且通过简单的矩阵分解可恢复原始解——在波束成形应用中，与现有方法相比，显著提升了旁瓣抑制性能。

ABSTRACT

A new approach to solving a class of rankconstrained semi-definite programming (SDP) problems, which appear in many signal processing applications such as transmit beamspace design in multiple-input multiple-output (MIMO) radar, downlink beamforming design in MIMO communications, generalized sidelobe canceller design, phase retrieval, etc., is presented. The essence of the approach is the use of underlying algebraic structure enforced in such problems by other practical constraints such as, for example, null shaping constraint. According to this approach, instead of relaxing the non-convex rankconstrained SDP problem to a feasible set of positive semidefinite matrices, we restrict it to a space of polynomials whose dimension is equal to the desired rank. The resulting optimization problem is then convex as its solution is required to be full rank, and can be efficiently and exactly solved. A simple matrix decomposition is needed to recover the solution of the original problem from the solution of the restricted one. We show how this approach can be applied to solving some important signal processing problems that contain null-shaping constraints. As a byproduct of our study, the conjugacy of beamfoming and parameter estimation problems leads us to formulation of a new and rigorous criterion for signal/noise subspace identification. Simulation results are performed for the problem of rank-constrained beamforming design and show an exact agreement of the solution with the proposed algebraic structure, as well as significant performance improvements in terms of sidelobe suppression compared to the existing methods.

研究动机与目标

• 解决在关键信号处理应用中出现的非凸秩约束半定规划（SDP）问题。
• 克服凸松弛技术的局限性，这些技术通常无法恢复低秩解。
• 利用实际问题中固有的代数结构（如零陷约束）将优化问题重新表述为凸问题。
• 开发一种无需松弛即可精确高效求解秩约束SDP的方法。
• 通过波束成形与参数估计问题之间的对偶性，建立信号子空间/噪声子空间识别的严格准则。

提出的方法

• 该方法将秩约束SDP的解空间限制在维度与期望秩相等的多项式空间中。
• 此限制将非凸问题转化为在多项式空间上的凸优化问题，确保解为满秩。
• 通过凸优化求解，利用零陷等约束所诱导的代数结构。
• 应用简单的矩阵分解，从满秩多项式空间解中恢复原始低秩解。
• 该方法基于代数几何，利用问题的内在结构避免松弛，同时保持秩约束。
• 该方法应用于波束成形和相位恢复问题，展示了精确恢复与性能提升。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不使用凸松弛的情况下精确求解秩约束的半定规划，特别是在秩为硬约束时？
• RQ2 在实际信号处理问题中，可利用何种代数结构将非凸SDP重新表述为凸问题？
• RQ3 波束成形与参数估计问题之间的对偶性如何导致信号子空间/噪声子空间识别的新准则？
• RQ4 与现有基于松弛的方法相比，所提方法是否能在波束成形应用中实现更优的旁瓣抑制？
• RQ5 多项式空间在实现低秩SDP的精确高效求解中起到何种作用？

主要发现

• 所提方法在秩约束波束成形问题中实现了精确解恢复，仿真结果表明其与预期代数结构完全一致。
• 与现有基于凸松弛的波束成形方法相比，显著提升了旁瓣抑制性能。
• 该方法无需松弛即可成功恢复低秩解，避免了标准SDP松弛技术中常见的秩不足问题。
• 基于波束成形与参数估计问题之间的对偶性，提出了一种新的、严格的信号子空间/噪声子空间识别准则。
• 由于在多项式空间上重新表述后问题为凸，求解过程计算效率高。
• 该方法可推广至具有类似代数约束的其他问题，如广义旁瓣对消器设计和相位恢复。