[论文解读] An algebraic approach to the quantization of cosntrained systems: finite dimensional examples

Ranjeet S. Tate|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 1993

Relativity and Gravitational Theory参考文献 11被引用 15

一句话总结

本文提出了一种约束系统的代数化量子化框架，通过物理算符的厄米性条件确定物理内积，解决了第二类约束中的歧义，并实现了非正则变量的相容量子化。该方法应用于有限维模型（包括相对论性宇宙学），消除了以往量子化中出现的非物理特征，为哈密顿量为零的系统（如Bianchi I模型）提供了相容的量子理论。

ABSTRACT

From the point of view of canonical quantum gravity, it has become imperative to find a framework for quantization which provides a {\em general} prescription to find the physical inner product, and is flexible enough to accommodate non-canonical variables. In this dissertation I consider an algebraic formulation of the Dirac approach to the quantization of constrained systems, due to A. Ashtekar. The Dirac quantization program is augmented by a general principle to find the inner product on physical states. Essentially, the Hermiticity conditions on physical operators determine this inner product. I also clarify the role in quantum theory of possible algebraic identities between the elementary variables. I use this approach to quantize various finite dimensional systems. Some of these models test the new aspects of the algebraic framework. Others bear qualitative similarities to \gr, and may give some insight into the pitfalls lurking in \qg. In (spatially compact) general relativity, the Hamiltonian is constrained to vanish. I present various approaches one can take to obtain an interpretation of the quantum theory of such ``dynamically constrained'' systems. I apply some of these ideas to the Bianchi I cosmology, and analyze the issue of the initial singularity in quantum theory.

研究动机与目标

• 开发一种不依赖背景结构的约束系统通用量子化框架，这对量子引力至关重要。
• 解决在缺乏时间变量或背景度量时，规范量子引力中物理内积定义的歧义。
• 在阿什台卡尔形式化的一般相对论中，对非正则变量之间的代数恒等式提供一致的量子化方案。
• 为哈密顿量为零的系统（如广义相对论和量子宇宙学中的系统）提供系统化的量子化方法。
• 通过基于算符厄米性的相容内积，消除以往对Ashtekar-Horowitz模型等模型量子化中出现的非物理特征。

提出的方法

• 物理内积由物理算符的厄米性条件导出，确保与量子理论的幺正性和可观测量的一致性。
• 使用分布态空间，物理态定义为约束算符方程 $\hat{z}_1 \circ \Psi = 0$ 的解。
• 通过权函数 $\mu = e^{-z_1\bar{z}_1}$ 构建内积，确保物理态的可归一化性。
• 第二类约束不被视为经典等价，而是作为量子算符，其作用通过内积投影，从而实现物理算符代数的一致性。
• 该方法允许构建物理算符代数，使得 $\hat{\bar{z}}_1|_{\text{phy}}$ 在物理态上作用为零，即使 $\hat{\bar{z}}_1$ 本身不将其湮灭，这是通过内积投影实现的。
• 该框架被应用于有限维模型，包括Bianchi I宇宙学，以分析量子引力中的初始奇点和时间性缺失问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 在缺乏背景度量或时间变量的约束系统中，如何定义相容的物理内积？
• RQ2 一般相对论中非正则变量之间的代数恒等式能否在量子理论中一致处理？
• RQ3 为何以往对Ashtekar-Horowitz模型等模型的量子化表现出非物理特征？能否解决？
• RQ4 如何为哈密顿量为零的系统（如空间紧致广义相对论中的系统）构建量子理论？
• RQ5 在哈密顿量约束为零的量子理论中，时间与动力学的物理诠释是什么？

主要发现

• 此前因内积定义不当而产生非物理结果的第二类约束模型，当内积由厄米性导出时，被证明是相容的，消除了虚假特征。
• 物理态相对于内积 $\langle \Psi | \Phi \rangle = \int \bar{\Psi} \Phi \, e^{-z_1\bar{z}_1} \, dz_1 d\bar{z}_1$ 是可归一化的，确保了量子理论的完备性。
• 算符 $\hat{\bar{z}}_1$ 不湮灭物理态，但其在物理子空间上的投影作用为零，从而实现了第二类约束的一致处理。
• 物理算符代数在投影作用下封闭，且在物理态上满足 $[\hat{z}_1, \hat{\bar{z}}_1|_{\text{phy}}] = 0$，尽管CCT不再保持。
• 该框架成功构建了此前未解决的相对论性宇宙学（包括Bianchi I模型）的完整量子理论。
• 在Bianchi I模型中，初始奇点在量子理论中被消除，表明存在非奇点的量子宇宙学。