[论文解读] An algebraic model for mod 2 topological cyclic homology

Kathryn Hess|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 4

一句话总结

本文通过定义模型自由循环空间及其同伦轨道空间的上链复形，构建了单连通、有限型CW复形的模2拓扑循环同伦的代数模型。关键贡献在于构造了一个上链复形 $ tc^*(X) $，其模2上同调计算了 $ TC(X;2) $ 的模2谱上同调，对 $ S^{2n+1} $ 的显式计算揭示了在 $ \mathbb{F}_2 $ 上的特定分次结构。

ABSTRACT

For any space X with the homotopy type of simply-connected, finite-type CW-complex, we construct an associative cochain algebra fls(X) whose cohomology algebra is isomorphic to that of LX, the free loop space on X. For certain X, we define a cochain map from fls(X) to itself that is a good model of the pth-power operation on LX. Under additional conditions on X, e.g., when X is a wedge of spheres, we define a cochain complex hos(X) by twisting together fls(X) and H*(BS^1) and prove that the cohomology of hos(X) is isomorphic to the Borel cohomology of LX. Finally, we define tc(X) to be the mapping cone of the composite of the projection map from hos(X) to fls(X) with the model of the pth-power map (for p=2), so that the mod 2 spectrum cohomology of TC(X;2), the topological cyclic homology of X at 2, is isomorphic to the mod 2 cohomology of tc(X). We conclude by calculating the mod 2 spectrum homology of TC(S^{2n+1}; 2).

研究动机与目标

• 为单连通、有限型CW复形的空间 $ X $ 构造模2拓扑循环同伦的代数上链模型。
• 使用扭曲上链复形，代数化模型自由循环空间 $ \mathcal{L}X $ 及其同伦轨道空间 $ \mathcal{L}X_{hS^1} $ 的上同调。
• 定义一个上链映射，以模型 $ \mathcal{L}X $ 上的 $ p^\text{th} $-次幂操作（$ p=2 $），该操作对构造 $ TC(X;2) $ 至关重要。
• 定义一个映射锥复形 $ tc^*(X) $，其模2上同调实现 $ TC(X;2) $ 的模2谱上同调，从而提供一个可计算的代数模型。
• 利用所构建的模型显式计算 $ \operatorname{H}^*(TC(S^{2n+1};2);\mathbb{F}_2) $，得到在 $ \mathbb{F}_2 $ 上的特定分次向量空间结构。

提出的方法

• 通过空间 $ X $ 的上链代数上的Bar构造，构造一个结合上链代数 $ fls^*(X) $，使得 $ \operatorname{H}^*(fls^*(X)) \cong \operatorname{H}^*(\mathcal{L}X) $ 作为代数同构。
• 将 $ hos^*(X) $ 定义为结合 $ fls^*(X) $ 与 $ \operatorname{H}^*(BS^1) $ 的扭曲复形，其微分包含 $ S^1 $-作用与 $ p^\text{th} $-次幂操作。
• 通过由 $ X $ 上的对角映射诱导的 $ \psi_K^\sharp \chi $-映射，在 $ fls^*(X) $ 上建模 $ \mathcal{L}X $ 上的 $ p^\text{th} $-次幂操作。
• 将 $ tc^*(X) $ 定义为投影 $ hos^*(X) \to fls^*(X) $ 与 $ p^\text{th} $-次幂模型复合映射的映射锥，其微分 $ D_{\tilde{\pi}} $ 编码了同伦拉回结构。
• 通过 $ tc^*(X) $ 的 $ \mathbb{F}_2 $-线性化，计算 $ \operatorname{H}^*(tc^*(X) \otimes \mathbb{F}_2) $，其同构于 $ \operatorname{H}^*(TC(X;2);\mathbb{F}_2) $。
• 将模型应用于 $ S^{2n+1} $，使用其极小上链模型 $ \Lambda z $，显式计算 $ tc^*(S^{2n+1}) $ 的上同调模2。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为单连通、有限型CW复形的模2拓扑循环同伦构造一个代数上链模型？
• RQ2 如何使用扭曲上链复形代数化模型自由循环空间 $ \mathcal{L}X $ 及其同伦轨道空间 $ \mathcal{L}X_{hS^1} $ 的上同调？
• RQ3 $ \mathcal{L}X $ 上的 $ p^\text{th} $-次幂操作的代数结构是什么？如何在上链映射中编码该结构？
• RQ4 是否存在一个上链复形，其模2上同调计算 $ TC(X;2) $ 的模2谱上同调？能否对球面显式实现该模型？
• RQ5 $ TC(S^{2n+1};2) $ 的显式模2上同调是什么？其如何反映模型的代数结构？

主要发现

• 上链复形 $ fls^*(X) $ 模型了自由循环空间 $ \mathcal{L}X $ 的上同调，满足 $ \operatorname{H}^*(fls^*(X)) \cong \operatorname{H}^*(\mathcal{L}X) $ 作为代数同构。
• 复形 $ hos^*(X) $ 模型了同伦轨道空间 $ \mathcal{L}X_{hS^1} $ 的上同调，满足 $ \operatorname{H}^*(hos^*(X)) \cong \operatorname{H}^*(\mathcal{L}X_{hS^1}) $ 作为分次模同构。
• $ \mathcal{L}X $ 上的 $ p^\text{th} $-次幂操作由 $ fls^*(X) $ 上的上链映射建模，其中 $ \psi_K^\sharp \chi $ 在 $ \Gamma sz $ 上的作用为 $ \psi_K^\sharp \chi(sz(m)) = 2^m sz(m) $。
• 复形 $ tc^*(X) $ 定义为投影 $ hos^*(X) \to fls^*(X) $ 与 $ p^\text{th} $-次幂模型复合映射的映射锥，且满足 $ \operatorname{H}^*(tc^*(X) \otimes \mathbb{F}_2) \cong \operatorname{H}^*(TC(X;2);\mathbb{F}_2) $。
• 当 $ X = S^{2n+1} $ 时，$ TC(S^{2n+1};2) $ 的模2上同调同构于 $ \bigoplus_{k \geq 1, m \geq 0} \mathbb{F}_2 \cdot s(v^k \otimes sz(2m)) \oplus \bigoplus_{k \geq 0, m \geq 0} \mathbb{F}_2 \cdot s(v^k \otimes x \otimes sx(2m+1)) \oplus \bigoplus_{m \geq 0} \mathbb{F}_2 \cdot s(v \otimes sz(2m+1)) $ 作为分次向量空间。
• 模2下，微分 $ D_{\tilde{\pi}} $ 简化为：当 $ m $ 为奇数时，$ D_{\tilde{\pi}}(s(1 \otimes z \otimes sz(m))) = z \otimes sz(m) $；当 $ m $ 为偶数时，包含项 $ s(\upsilon \otimes 1 \otimes sz(m+1)) $。