[论文解读] An algebraic theory for logarithmic Kazhdan-Lusztig correspondences

Thomas Creutzig, Simon Lentner+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2023

Algebraic structures and combinatorial modelsMathematics被引用 3

一句话总结

本文提出一个代数框架，通过在有 braided tensor 结构的范畴中使用一个交换代数 A，将复杂 braided tensor 范畴 𝒰 表征为较简单范畴的相对 Drinfeld 中心，从而建立对数 Kazhdan-Lusztig 对应关系——即顶点代数与量子群表示范畴之间的 braided tensor 等价关系。关键结果是：当 A 及其模范畴被充分理解时，可系统性地将 braided tensor 等价关系简化为阿贝尔等价关系，从而证明了新的等价关系，包括在 2p 次单位根处的 singlet 顶点代数 ℳ(p) 与 unrolled 小量子群 𝔰𝔩₂ 之间的等价关系，以及 affine gl₁|₁ 顶点代数与其量子群对应物之间的等价关系。

ABSTRACT

Let $\mathcal{U}$ be a braided tensor category, typically unknown, complicated and in particular non-semisimple. We characterize $\mathcal{U}$ under the assumption that there exists a commutative algebra $A$ in $\mathcal{U}$ with certain properties: Let $\mathcal{C}$ be the category of local $A$-modules in $\mathcal{U}$ and $\mathcal{B}$ the category of $A$-modules in $\mathcal{U}$, which are in our set-up usually much simpler categories than $\mathcal{U}$. Then we can characterize $\mathcal{U}$ as a relative Drinfeld center $\mathcal{Z}_\mathcal{C}(\mathcal{B})$ and $\mathcal{B}$ as representations of a certain Hopf algebra inside $\mathcal{C}$. In particular this allows us to reduce braided tensor equivalences to the knowledge of abelian equivalences, e.g. if we already know that $\mathcal{U}$ is abelian equivalent to the category of modules of some quantum group $U_q$ or some generalization thereof, and if $\mathcal{C}$ is braided equivalent to a category of graded vector spaces, and if $A$ has a certain form, then we already obtain a braided tensor equivalence between $\mathcal{U}$ and $\mathrm{Rep}(U_q)$. A main application of our theory is to prove logarithmic Kazhdan-Lusztig correspondences, that is, equivalences of braided tensor categories of representations of vertex algebras and of quantum groups. Here, the algebra $A$ and the corresponding category $\mathcal{C}$ are a-priori given by a free-field realization of the vertex algebra and by a Nichols algebra. We illustrate this in those examples where the representation theory of the vertex algebra is well enough understood. In particular we prove the conjectured correspondences between the singlet vertex algebra $\mathcal{M}(p)$ and the unrolled small quantum groups of $\mathfrak{sl}_2$ at $2p$-th root of unity. Another new example is the Kazhdan-Lusztig correspondence for $\mathfrak{gl}_{1|1}$.

研究动机与目标

• 建立一个通用框架，用于证明对数 Kazhdan-Lusztig 对应关系——即顶点代数与量子群表示范畴之间的 braided tensor 等价关系。
• 将构造 braided tensor 等价关系的问题简化为验证较简单模范畴之间的阿贝尔等价关系。
• 通过一个在 𝒰 中的交换代数 A，将一个非半单的 braided tensor 范畴 𝒰 表征为相对 Drinfeld 中心 𝒵_𝒞(ℬ)。
• 将该理论应用于证明新的等价关系，包括在 2p 次单位根处的 singlet 顶点代数 ℳ(p) 与 unrolled 小量子群 𝔰𝔩₂ 之间的等价关系。
• 将该理论扩展至 unrolled 量子群与 affine gl₁|₁，证明其顶点代数与量子群表示之间存在新的对应关系。

提出的方法

• 将一个 braided tensor 范畴 𝒰 表征为相对 Drinfeld 中心 𝒵_𝒞(ℬ)，其中 𝒞 是局部 A-模的范畴，ℬ 是 𝒰 中 A-模的范畴。
• 利用 𝒰 中具有特定性质的交换代数 A，诱导出从 𝒰 到 ℬ 的分裂张量函子。
• 将 ℬ 实现为 braided 范畴 𝒞 内一个霍普夫代数的表示，从而实现张量结构的重构。
• 将该理论应用于顶点代数的自由场实现以及 Nichols 代数，作为 A 和 𝒞 的来源。
• 使用如下判据：若一个正合函子在投射与内射对象之间的 Hom-空间上诱导出同构，则其为全忠实函子。
• 利用投射与内射解析的存在的事实，将阿贝尔等价关系提升为 braided tensor 等价关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，一个 braided tensor 范畴 𝒰 可通过 𝒰 中的交换代数 A，被重构为较简单范畴 ℬ 的相对 Drinfeld 中心？
• RQ2 如何将顶点代数与量子群范畴之间的 braided tensor 等价关系，简化为阿贝尔等价关系？
• RQ3 自由场实现与 Nichols 代数在构造所需的交换代数 A 及局部 A-模范畴 𝒞 的过程中起到何种作用？
• RQ4 该理论能否证明 singlet 顶点代数 ℳ(p) 与在 2p 次单位根处的 unrolled 小量子群 𝔰𝔩₂ 之间的 Kazhdan-Lusztig 对应关系？
• RQ5 该理论是否可扩展至 affine 顶点代数（如 gl₁|₁），从而与其中的 unrolled 量子群建立新的对应关系？

主要发现

• 本文证明了 singlet 顶点代数 ℳ(p) 的表示范畴与在 2p 次单位根处的 unrolled 小量子群 𝔰𝔩₂ 的表示范畴之间存在 braided tensor 等价关系。
• 在 affine gl₁|₁ 顶点代数与其中的 unrolled 量子群之间，建立了新的 Kazhdan-Lusztig 对应关系。
• 当局部 A-模范畴 𝒞 与分次向量空间范畴 braided 等价时，该理论可将 braided tensor 等价关系的构造问题简化为验证 ℬ 与量子群模范畴之间的阿贝尔等价关系。
• 相对 Drinfeld 中心构造 𝒰 ≅ 𝒵_𝒞(ℬ) 被证明可从较简单的范畴 ℬ 和代数 A 中完整恢复 𝒰 的 braided tensor 结构。
• 投射与内射解析的存在性确保：若一个正合函子在投射/内射对象之间的 Hom-空间上保持同构，则其为全忠实函子，从而可将阿贝尔等价关系提升为 braided tensor 等价关系。
• 该框架成功应用于对数 VOAs 与量子群，为在非半单情形下证明此类对应关系提供了通用机制。