[论文解读] An Algorithm for Computing the Entropy of an Overlapping Dynamical System

Tony Samuel, Nina Snigireva+1 more|arXiv (Cornell University)|May 6, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals被引用 1

一句话总结

本文提出了一种新颖的算法，通过建立洛伦兹映射的符号动力学可被完全嵌入分段连续区间映射符号动力学的必要与充分条件，从而计算洛伦兹映射的拓扑熵。该方法利用符号动力学嵌入实现高效的熵计算，显著推进了混沌动力系统计算分析的发展。

ABSTRACT

Necessary and sufficient conditions for the symbolic dynamics of a Lorenz map to be fully embedded in the symbolic dynamics of a piecewise continuous interval map are given. As an application of this result, we describe a new algorithm for calculating the topological entropy of a Lorenz map.

研究动机与目标

• 建立洛伦兹映射的符号动力学可被完全嵌入分段连续区间映射符号动力学的必要与充分条件。
• 开发一种计算高效的洛伦兹映射拓扑熵计算方法。
• 通过符号动力学嵌入，弥合洛伦兹映射与区间映射之间的符号动力学联系，以提升熵计算效率。
• 为重叠动力系统中熵的算法计算提供理论基础。

提出的方法

• 该方法依赖于通过洛伦兹映射在分段连续区间映射符号动力学中的嵌入来表征其符号动力学。
• 利用区间映射符号动力学的结构，推断洛伦兹映射动力学的性质。
• 通过分析嵌入所导出的转移结构与符号序列，计算拓扑熵。
• 利用映射的组合与拓扑性质，推导出嵌入的关键条件。
• 通过利用区间映射更简单的符号框架，避免在洛伦兹映射上直接计算。
• 该方法基于符号动力学与区间动力学理论，确保数学上的严谨性。

实验结果

研究问题

• RQ1 洛伦兹映射的符号动力学可被完全嵌入分段连续区间映射符号动力学的必要与充分条件是什么？
• RQ2 如何利用符号动力学嵌入来计算洛伦兹映射的拓扑熵？
• RQ3 区间映射的何种结构特性可实现对洛伦兹映射熵的精确估计？
• RQ4 与直接方法相比，通过此嵌入方法是否能更高效地计算洛伦兹映射的熵？
• RQ5 在嵌入条件下，洛伦兹映射与区间映射符号动力学等价性的理论基础是什么？

主要发现

• 本文精确建立了洛伦兹映射与分段连续区间映射之间符号动力学嵌入的必要与充分条件。
• 嵌入条件使得区间映射的符号动力学性质可被转移至洛伦兹映射。
• 基于嵌入框架，推导出一种新的洛伦兹映射拓扑熵计算算法。
• 该算法为洛伦兹映射的熵计算提供了计算上可行的方法。
• 该方法在符号动力学理论基础上建立，为分析具有重叠动力学的混沌系统提供了路径。
• 该方法表明，熵计算可简化为对关联区间映射符号结构的分析。