[论文解读] An algorithm for computing the Weierstrass normal form of hyperelliptic curves

Mark van Hoeij|ArXiv.org|Mar 14, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用 10

一句话总结

本文提出了一种算法，用于在复数域上计算超椭圆曲线的 Weierstrass 标准型，利用全纯微分形式与线性代数方法判定超椭圆性并构造双有理映射。其主要贡献是系统性地找到超椭圆对合域的一个次数为 2 的生成元，并将任意超椭圆曲线变换为标准形式 $ y_0^2 = F(x_0) $，其中 $ F $ 为无平方因子多项式。

ABSTRACT

An algorithm is given to compute a normal form for hyperelliptic curves. The elliptic case has been treated in a previous paper. In this paper the hyperelliptic case is treated.

研究动机与目标

• 开发一种算法，基于曲线的亏格与微分结构，判断给定代数曲线是否为超椭圆曲线。
• 计算从超椭圆曲线到其 Weierstrass 标准型 $ y_0^2 = F(x_0) $ 的双有理映射，其中 $ F $ 为无平方因子多项式。
• 通过有理函数相互表达曲线坐标 $ x, y $ 与标准型坐标 $ x_0, y_0 $。
• 在 Maple 中实现该算法，为超椭圆曲线不变量与变换提供符号计算工具。

提出的方法

• 使用先前工作中提出的算法计算全纯微分形式的一组基，作为进一步分析的基础。
• 确定曲线的亏格 $ g $；若 $ g < 2 $，则曲线不是超椭圆曲线。
• 通过计算全纯微分形式乘积 $ b_i b_j $ 张成的空间 $ W $ 的维数来检验超椭圆性；若 $ \dim W = 2g - 1 $，则曲线为超椭圆曲线。
• 在非奇异点处利用赋值法约化，定位全纯微分形式子空间 $ V_2 \subseteq V $，使其同构于 $ \mathbb{C} t^{g-2} dt + \mathbb{C} t^{g-1} dt $，其中 $ t $ 是超椭圆域 $ K = \mathbb{C}(t) $ 的生成元。
• 从 $ V_2 $ 的基 $ v_1, v_2 $ 构造次数为 2 的生成元 $ x_0 = v_1 / v_2 $，确保 $ x_0 $ 生成超椭圆域 $ K $。
• 通过有理函数调整 $ y_0 $ 并消去分母，将曲线变换为 Weierstrass 形式 $ y_0^2 = F(x_0) $，使 $ F $ 为无平方因子多项式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过算法判断给定的不可约代数曲线是否为超椭圆曲线，基于其亏格与微分结构？
• RQ2 在已知全纯微分形式基的前提下，如何计算一个次数为 2 的有理函数 $ x_0 \in \mathbb{C}(x,y) $，使其生成超椭圆域 $ K $？
• RQ3 如何系统地计算从超椭圆曲线到其 Weierstrass 标准型 $ y_0^2 = F(x_0) $（$ F $ 无平方因子）的双有理映射？
• RQ4 如何通过算法相互表达原始坐标 $ x, y $ 与标准型坐标 $ x_0, y_0 $ 为对方的有理函数？

主要发现

• 该算法通过检验由全纯微分乘积张成的空间 $ W $ 的维数是否等于 $ 2g - 1 $，正确识别出超椭圆曲线，而这是超椭圆性的充要条件。
• 对于如 $ f = y^9 + 3x^2y^6 + 3x^4y^3 + x^6 + y^2 $ 这类亏格为 3 的曲线，算法确认其为超椭圆曲线，并计算出 Weierstrass 标准型 $ y_0^2 = -x_0^7 + 7x_0^6 - 21x_0^5 + 35x_0^4 - 35x_0^3 + 21x_0^2 - 7x_0 + 2 $。
• 该算法计算出显式的双有理映射：$ x_0 = \frac{y(y^3 + x^2 + 1)}{y^6 + 2x^2y^3 + x^4 + y} $，$ y_0 = -\frac{x(y^3 + x^2)}{y} $，及其逆映射。
• 该方法成功将原始曲线变换为具有无平方因子多项式 $ F(x_0) $ 的标准 Weierstrass 形式，确保了最小且规范的表示。
• 在 Maple 的 `algcurves` 包中实现该算法，为超椭圆曲线不变量与变换提供了可工作的符号计算流程。
• 在非奇异点处采用基于赋值的约化技术，有效计算出子空间 $ V_2 $，其对应于微分形式 $ t^{g-2} dt $ 与 $ t^{g-1} dt $，从而实现次数为 2 的生成元 $ x_0 $ 的构造。