[论文解读] An algorithm for deciding reducibility

Mark C. Bell|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文提出了一种算法，通过将映射类群在多曲线上的作用编码为三角剖分，以判断一个标记曲面上的映射类是否可约。该文证明了可约性问题可在字长的指数时间内判定，并表明规范曲线系的大小至多为字长的指数函数，从而将该问题置于NP类中。

ABSTRACT

For a marked surface we construct a description of the action of the mapping class group on the set of multicurves via a triangulation. We use this encoding to give an algorithm to determine if a mapping class is reducible in time exponential in the word length with respect to some fixed generating set. We go on to show that a reducible mapping class fixes a maximal multicurve whose size is at most exponential in the word length. From this we deduce that determining if a mapping class is reducible is a problem in NP. Moreover, this shows that the size of the canonical curve system of a mapping class is also at most exponential in the word length.

研究动机与目标

• 开发一种算法，用于判断一个映射类在标记曲面上是否可约。
• 通过基于三角剖分的编码方式，描述映射类群在多曲线上作用的性质。
• 以字长为参数，对一个映射类的规范曲线系的大小进行上界估计。
• 通过证明存在大小至多为字长指数函数的证书，确立可约性问题属于NP类。

提出的方法

• 通过曲面的三角剖分，对映射类群在多曲线上的作用进行编码。
• 利用三角剖分将映射类及其在多曲线上的作用表示为可计算的形式。
• 构建一种算法，通过分析三角剖分和多曲线结构上诱导的作用来判断可约性。
• 证明任一可约映射类均固定一个极大多曲线，其大小受字长指数函数的有界。
• 利用规范曲线系的有界大小，将可约性判定问题置于NP类中。
• 证明规范曲线系的大小至多为字长的指数函数，其中字长基于固定的生成集。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过基于三角剖分的映射类群作用编码，算法化地判定映射类的可约性？
• RQ2 以字长为度量，与映射类相关的规范曲线系的最大大小是多少？
• RQ3 判断一个映射类是否可约的问题是否属于复杂度类NP？
• RQ4 映射类群在多曲线上的作用结构与该类的字长之间有何关系？

主要发现

• 该算法在固定生成集下，以字长的指数时间判定可约性。
• 任一可约映射类均固定一个大小至多为字长指数函数的极大多曲线。
• 一个映射类的规范曲线系的大小被一个字长的指数函数上界所控制。
• 由于存在大小有界的证书，判定映射类是否可约的问题属于NP类。
• 基于三角剖分的编码方式，为映射类群在多曲线上的作用提供了有限且可计算的表示。
• 研究结果建立了字长与映射类群动力系统中结构复杂性之间的紧密联系。