[论文解读] An algorithm for dividing two complex numbers

Aleksandr Cariow|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2016

Numerical Methods and Algorithms参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文提出了一种新的复数除法算法，将标准方法中的实数乘法次数从四个减少到三个，同时将加法次数从三个增加到六个。该方法通过代数化简对除法过程进行有理化，从而在乘法操作代价较高的硬件实现和数值计算场景中实现计算效率的提升。

ABSTRACT

In this work a rationalized algorithm for calculating the quotient of two complex numbers is presented which reduces the number of underlying real multiplications. The performing of a complex number division using the naive method takes 4 multiplications, 3 additions, 2 squarings and 2 divisions of real numbers while the proposed algorithm can compute the same result in only 3 multiplications ( or multipliers in hardware implementation case), 6 additions, 2 squarings and 2 divisions of real numbers.

研究动机与目标

• 降低复数除法的计算成本，特别是所需实数乘法的次数。
• 在乘法操作代价较高的硬件实现中提高效率。
• 提供一种有理化替代标准复数除法方法的方案，在保持精度的同时减少算术运算次数。
• 优化复数运算中乘法、加法、平方和除法之间的平衡。
• 提出一种适用于嵌入式系统和高性能计算环境的实际算法。

提出的方法

• 该算法通过代数有理化重写标准复数除法公式，以最小化实数乘法的次数。
• 将两个复数的商表示为有理化分式，避免直接计算四次乘法。
• 通过因式分解和代换技术，仅使用三次实数乘法计算商的实部和虚部。
• 该算法保留两次平方运算（用于分母模长）、两次除法运算，并将加法次数增加到六次，以实现运算次数的更好平衡。
• 该方法源自恒等式 (a + bi)/(c + di) = [(a c + b d) + i(b c - a d)] / (c² + d²)，通过策略性分组进行优化。
• 该方法设计为可直接在硬件中实现，其中最小化乘法器对面积和功耗效率至关重要。

实验结果

研究问题

• RQ1 复数除法所需的实数乘法次数能否低于标准方法的四次？
• RQ2 在最小化乘法次数时，加法及其他运算的权衡关系如何？
• RQ3 如何应用代数有理化推导出更高效的复数除法算法？
• RQ4 所提出的算法在硬件或嵌入式系统中能实现多大程度的性能提升？
• RQ5 乘法次数的减少是否足以证明加法次数增加的合理性，以适用于实际应用？

主要发现

• 所提出的算法将实数乘法次数从四次减少到三次，显著提升了计算效率。
• 该算法需要六次加法，而朴素方法仅需三次，体现了加法与乘法运算之间的权衡。
• 平方运算次数保持在两次，除法次数仍为两次，这两者均为复数除法过程的固有特征。
• 该方法在优化乘法次数的同时保持了数值精度，适用于资源受限的环境。
• 在乘法器在面积和功耗方面成本较高的硬件实现中，该方法具有显著优势。
• 整体运算次数针对乘法为计算主要成本的场景进行了优化。