[论文解读] An algorithm for optimal transport between a simplex soup and a point cloud

Quentin Mérigot, Jocelyn Meyron+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2017

Point processes and geometric inequalities参考文献 20被引用 33

一句话总结

本文提出了一种阻尼牛顿算法，用于计算在 ℝᵈ 中的单纯形测度（支持在维度 2 到 d 的单纯形并集上）与离散点云之间的最优传输映射。该方法基于拉格朗日图求解非线性系统，在一般性和连通性条件下证明了线性收敛性，并实现了表面量化、重网格化和点集配准等应用，相较于 ICP 方法具有更优的收敛性能。

ABSTRACT

We propose a numerical method to find the optimal transport map between a measure supported on a lower-dimensional subset of R^d and a finitely supported measure. More precisely, the source measure is assumed to be supported on a simplex soup, i.e. on a union of simplices of arbitrary dimension between 2 and d. As in [Aurenhammer, Hoffman, Aronov, Algorithmica 20 (1), 1998, 61--76] we recast this optimal transport problem as the resolution of a non-linear system where one wants to prescribe the quantity of mass in each cell of the so-called Laguerre diagram. We prove the convergence with linear speed of a damped Newton's algorithm to solve this non-linear system. The convergence relies on two conditions: (i) a genericity condition on the point cloud with respect to the simplex soup and (ii) a (strong) connectedness condition on the support of the source measure defined on the simplex soup. Finally, we apply our algorithm in R^3 to compute optimal transport plans between a measure supported on a triangulation and a discrete measure. We also detail some applications such as optimal quantization of a probability density over a surface, remeshing or rigid point set registration on a mesh.

研究动机与目标

• 开发一种针对低维单纯形测度与离散点云之间最优传输的鲁棒数值算法。
• 解决当源测度支持在低维单纯形（如边或面）时所引发的理论与数值挑战，此时标准 Brenier 理论不再适用。
• 证明在退化情形下，阻尼牛顿法求解半离散最优传输问题的线性收敛性。
• 提供一个可应用于几何处理任务（如最优量化、重网格化和刚性点集配准）的实际计算框架。

提出的方法

• 通过规定幂图中每个拉格朗日胞腔的质质量，将最优传输问题重新表述为非线性系统。
• 采用阻尼牛顿法求解系统 G(ψ) = ν，其中 Gᵢ(ψ) = μ(Lagᵢ(ψ)) 表示第 i 个拉格朗日胞腔的测度。
• 在两个条件下建立收敛性：点云相对于单纯形片具有通用性，且源测度的支撑具有强连通性。
• 该方法利用 G 是一个凹泛函的梯度这一事实，确保了牛顿迭代的适定性与单调性。
• 通过基于拉格朗日胞腔质心更新点云的方式，在更高层任务（如最优量化、重网格化和配准）中迭代应用该算法。
• 实现中采用对单纯形的数值积分，并通过 ℝᵈ 中的 Voronoi 类构造计算拉格朗日图。

实验结果

研究问题

• RQ1 阻尼牛顿法能否在低维单纯形测度与离散点云之间的最优传输问题中实现线性收敛？
• RQ2 在该退化情形下，何种几何与拓扑条件可保证最优传输映射的存在性与唯一性？
• RQ3 当源测度支持在低维单纯形的并集上时，如何高效计算最优传输映射？
• RQ4 该算法在多大程度上可作为构建模块复用于更高阶的几何处理任务？
• RQ5 在 ICP 中用基于最优传输的分配替代最近邻查询，是否能提升收敛速度？

主要发现

• 在一般性和连通性条件下，阻尼牛顿算法线性收敛于单纯形测度与点云之间的半离散最优传输问题的解。
• 该方法即使在源测度支持于 2D 或 1D 单纯形时，仍能成功计算最优传输映射，克服了 Brenier 定理在低维情形下的局限性。
• 在最优量化中，该算法生成的点云在三角化曲面上局部最小化与目标密度的 Wasserstein 距离。
• 在重网格化中，该算法生成的表面网格其三角形密度符合给定的源测度，从而提升了有限元离散化的质量。
• 在刚性点集配准中，OT-ICP 变体仅需 3 次迭代即可收敛，而标准 ICP 需 20 次迭代，表明收敛速度显著提升，尽管残差误差略高。
• 计算时间范围为 3 秒（4 次迭代）至 74 秒（14 次迭代），适用于含 50 至 1000 个点的中等规模输入，显示出良好的可扩展性。