[论文解读] An algorithm for the T-count

David Gosset, Vadym Kliuchnikov+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2013

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 3被引用 11

一句话总结

本文提出了一种经典算法，使用时间与空间复杂度均被限制在 O(N^m poly(m,N)) 内，计算 n-量子比特 Clifford+T 电路中单位变换 U 的 T-计数，其中 N=2^n 且 m 为目标 T-计数。该算法采用一种针对 Clifford+T 门的专用表示方法，并结合对撞中间策略，证明 Toffoli 门与 Fredkin 门恰好需要 7 个 T 门，从而确认了其 T-最优性。

ABSTRACT

We consider quantum circuits composed of Clifford and T gates. In this context the T gate has a special status since it confers universal computation when added to the (classically simulable) Clifford gates. However it can be very expensive to implement fault-tolerantly. We therefore view this gate as a resource which should be used only when necessary. Given an n-qubit unitary U we are interested in computing a circuit that implements it using the minimum possible number of T gates (called the T-count of U). A related task is to decide if the T-count of U is less than or equal to m; we consider this problem as a function of N=2^n and m. We provide a classical algorithm which solves it using time and space both upper bounded as O(N^m poly(m,N)). We implemented our algorithm and used it to show that any Clifford+T circuit for the Toffoli or the Fredkin gate requires at least 7 T gates. This implies that the known 7 T gate circuits for these gates are T-optimal. We also provide a simple expression for the T-count of single-qubit unitaries.

研究动机与目标

• 开发一种高效的经典算法，用于计算 Clifford+T 门集合中 n-量子比特单位变换的 T-计数。
• 确定给定的 n-量子比特单位变换 U 是否能以至多 m 个 T 门实现，即求解 COUNT-T 问题。
• 在无辅助量子比特的约束下，确定基本多量子比特门（如 Toffoli 与 Fredkin 门）的确切 T-计数。
• 利用其通道表示，对单量子比特单位变换的 T-计数提供表征。
• 证明已知的 7-T-门电路在无辅助量子比特约束下对 Toffoli 门是 T-最优的。

提出的方法

• 采用对撞中间策略，以减少 T-计数优化中的指数级搜索空间。
• 使用一种规范形式表示 Clifford+T 单位变换，将 T 门隔离并利用陪集分解追踪其位置。
• 通过 Clifford 群的群结构，对单位变换进行递归分解，表示为 T 门与 Clifford 操作的乘积。
• 构建并存储陪集数据库 D_k^n（k ≤ m），表示使用 k 个 T 门可达的单位变换等价类。
• 应用双向搜索：通过左乘与右乘 Clifford 操作，将目标单位变换与已知 T-计数的单位变换匹配。
• 利用如下事实：任何矩阵元素属于 Z[i, 1/√2] 且行列式为 1（当 n≥4 时）的 J_n 中的单位变换（即 Clifford+T 群）均可分解为 T-计数最小的电路。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否高效计算给定 n-量子比特单位变换 U 在 Clifford+T 门集合中的 T-计数？
• RQ2 是否存在一种经典算法，使得 COUNT-T 问题的时间与空间复杂度被限制在 O(N^m poly(m,N)) 内？
• RQ3 在无辅助量子比特的条件下，实现 Toffoli 与 Fredkin 门所需的最少 T 门数量是多少？
• RQ4 单量子比特单位变换的 T-计数能否由一个简单的代数不变量表征？
• RQ5 在无辅助量子比特约束下，已知的 7-T-门电路对 Toffoli 门是否为 T-最优？

主要发现

• 该算法在时间与空间复杂度 O(N^m poly(m,N)) 内求解了 COUNT-T 问题，其中 N=2^n 且 m 为目标 T-计数。
• Toffoli 门的 T-计数恰好为 7，且已知的 7-T-门电路在无辅助量子比特条件下为 T-最优。
• Fredkin 门的 T-计数恰好为 7，且已知的 7-T-门电路在相同约束下为 T-最优。
• 该算法以 C++ 实现，并成功通过 m=6 验证了 Toffoli 与 Fredkin 门的 T-计数下界。
• 对于单量子比特单位变换，其 T-计数由其通道表示的 sde（最短分解指数）决定。
• 本文证实了先前研究中的猜想：在无辅助量子比特模型中，Toffoli 门至少需要 7 个 T 门。