[论文解读] An algorithm to compute the Hoffman constant of a system of linear constraints
本文提出一种组合算法，用于计算包含易于满足约束（如框约束）的线性约束系统的霍夫曼常数。该方法利用霍夫曼常数的一种新表征方式，即其为有限且可处理的子问题集合上的最大值，从而通过良好定义的子系统上的凸优化实现精确计算。
We propose a combinatorial algorithm to compute the Hoffman constant of a system of linear equations and inequalities. The algorithm is based on a characterization of the Hoffman constant as the largest of a finite canonical collection of easy-to-compute Hoffman constants. Our algorithm and characterization extend to the more general context where some of the constraints are easy to satisfy as in the case of box constraints. We highlight some natural connections between our characterizations of the Hoffman constant and Renegar's distance to ill-posedness for systems of linear constraints.
研究动机与目标
- 开发一种高效算法，用于精确计算线性不等式和方程组的霍夫曼常数。
- 将霍夫曼常数的计算扩展至包含易于满足约束（如边界约束）的系统。
- 基于满射子映射性质，提供霍夫曼常数的表征方式，以实现可计算性。
- 建立霍夫曼常数与线性系统中雷内加尔的病态距离之间的联系。
- 通过提供可行性与最优性的可计算误差界，支持现代优化算法。
提出的方法
- 该算法基于霍夫曼常数的表征：其为所有满足 $ J \notin \text{S}(A) $ 的子集上的最大值，其中子映射 $ x \mapsto A_J x + \mathbb{R}^J_+ $ 是满射的。
- 计算 $ H(A) = \max_{J \in \mathcal{S}(A)} \frac{1}{\min_{v \in \mathbb{R}^J_+, \|v\|^* = 1} \|A_J^T v\|^*} $，将搜索范围缩小至有限且可管理的子集集合。
- 该方法识别出一个更小的规范集合 $ \mathcal{F} \subseteq \mathcal{S}(A) $，足以计算最大值，避免暴力枚举。
- 对每个候选 $ J $，使用凸优化计算内层最小化 $ \min_{v \in \mathbb{R}^J_+, \|v\|^* = 1} \|A_J^T v\|^* $。
- 该框架可扩展至同时包含等式和不等式的系统，以及包含平凡可满足约束（如框约束）的情形。
- 理论基础建立在多面体次线性映射和面约化之上，霍夫曼常数与某些线性映射的逆范数相关联。
实验结果
研究问题
- RQ1如何对包含易于满足约束的一般线性约束系统，精确计算霍夫曼常数？
- RQ2约束矩阵 $ A $ 的哪些结构性质可实现霍夫曼常数的高效计算？
- RQ3霍夫曼常数与线性系统中雷内加尔的病态距离之间有何关系？
- RQ4是否存在一个有限且计算上可处理的子系统集合，能够捕捉霍夫曼型不等式中的最坏情况误差界？
- RQ5子系统的良好定义性在表征全局霍夫曼常数中起什么作用？
主要发现
- 霍夫曼常数 $ H(A) $ 被精确表征为一个有限集合中易于计算的子问题的最大值，每个子问题对应一个良好定义的子系统。
- 该算法通过在规范子集 $ \mathcal{F} \subseteq \mathcal{S}(A) $ 上评估 $ \frac{1}{\min_{v \in \mathbb{R}^J_+, \|v\|^* = 1} \|A_J^T v\|^*} $ 来计算 $ H(A) $，避免了指数级枚举。
- 该方法可推广至同时包含等式和不等式的系统，以及包含框约束的情形，其中此类约束被视为平凡可满足。
- 近期优化方法中的面距离或金字塔宽度被证明是此广义霍夫曼常数的一个特例。
- 该表征建立了霍夫曼常数与雷内加尔的病态距离之间的直接联系：$ 1/H(A) $ 等于使 $ Ax < 0 $ 不可行的最小扰动。
- 该框架通过多面体次线性映射提供了一体化的误差界方法，可系统推导出霍夫曼型常数。
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